※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ ※　　　　★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★　　　　※ ※　　　≤‖≥　　　　枫　　华　　园　　　　　　　　　≤‖≥　　　※ ※　　≤＼‖／≥　　　二零零二年七月九日出版　　　　≤＼‖／≥　　※ ※　≤≤＼‖／≥≥　　　　　　　　　　　　　　　　≤≤＼‖／≥≥　※ ※　　　　‖　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‖　　　　※ ※　　　　一九九三年九月二十日创刊　　特刊　总第三十三期　　　　　※ ※　　　　　　《枫华园》杂志社主办　　《枫华园》编辑部主编　　　　※ ※　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　※ ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 　　　　　　　　本　期　目　录（ＦＨＹＴＫ３３） ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 【百草园】经典悖论漫游月 　　　　　　　　　　　　　泽 　熙 一、克里特岛上的“谎言者” 人类最古老的悖论 “失败的”罗素 苏格拉底与庄子：大智者也不能自拔 二、“悖论之父”的难题 芝诺：西方的“悖论之父” 百思不得其解的尼采 惠施：东方的“悖论大家” 三、古希腊的“智者” 普洛道格拉斯：诡辩学者的困境 亚里斯多德：哲学与诡辩 大哲学家的困境 “并非知识的智慧” 四、古中国的“辩者” 名不符实的“雄辨” 《吕氏春秋》中的两大范例 名家的“古怪辩题” “辩者之囿” 五、禅宗公案多悖论 白居易的发现 “般若非般若是之谓般若” 一个不同的逻辑世界 六、“二律背反”的世界 悖论诘难的智慧 帕斯卡的“概率难题” “有多个终极真理？” 七、佯谬大崩溃 悖论与佯谬 三次数学危机 爱因斯坦的佯谬 “上帝是否掷骰子？” 科学迸发新难题 八、故事中的经典 生存的智慧 生活的乐趣 决策中的“现代悖论” 真正的悖论具有永久魅力 ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 【百草园】 　　【作者按】悖论是一个奇妙的思维“禁区”，一种好奇触发了我将许多零散的 经典收集起来，《经典悖论漫游》曾分期刊登在《新语丝》月刊上，并获得了“新 语丝二０００年度优秀作品奖”。现在我又对它进行了一次全面地归纳和扩展，并 刊登在《枫华园》特刊上。这里列举的“经典悖论”，实际上都是普通人也能理解 的悖论，但常常不能用普通的思维来解脱，只有非常的智慧才能豁然开解。比方说 芝诺的悖论，令古今的哲学家、数学家们不思茶饮、郁闷不安，因为智慧受到了挑 战。在牛顿和莱布尼兹等科学巨匠对微积分和极限论做出重大突破以前，人们很难 透彻理解这些运动的悖论。可见，一些简单的悖论却能激发起人们改变思维方式的 深邃思考。希望通过漫游，读者可以从中得到启示，激发自己的探索。 经典悖论漫游　 泽熙 一、克里特岛上的“谎言者” 　　古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知 和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要 创造性的思考，而悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。我们不妨从多个方 面来游历这个精彩的“悖论世界”。 　　悖论，又可以称为“明显自相矛盾的陈述”。人们之所以对它感兴趣，也许是 因为它可以挑战人的智慧，催发人的思考。 　　而悖论是多种多样的，逻辑学家告诉我们，很多悖论找不到逻辑上的解释。然 而，倘若我们一旦发现了某些合理的解释，就会觉得绕有趣味，让我们首先来看一 个历史上最古老的悖论，发生在克里特岛上。 人类最古老的悖论 　　大约在公元前六世纪，克里特岛上有个哲学家叫艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎ ｉｄｅｓ），他的话语中曾经提到：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人 这么说。”这就是一个著名悖论的来源，“谎言者悖论”也许是历史上最早、最吸 引人的一个悖论。它曾经难倒了古希腊的哲学家，例如斯多噶学派的哲学家克理西 柏斯曾经写了六篇论文探讨这个问题，没有一篇可以传世。 　　《圣经》里曾经也提到：“有克利特人中的一个本地先知说：‘克利特人常说 谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，但 是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。 １－１　“这句话是错的” 　　“谎言者悖论”最简单的形式是：“我在说谎。”而问题正是这些陈述本身是 否也是谎言？如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话； 但是如果这是实话，他又在说谎，矛盾不可避免。读者不妨想想，是否可以从这个 跨境中摆脱出来？ 　　它的一个翻版是“这句话是错的”，这是公元前４世纪诡辩论者欧布利德斯（ Ｅｕｂｕｌｉｄｅｓ　ｏｆ　Ｍｉｌｅｔｕｓ）提出来的，更加尖锐化了“谎言者 悖论”。如果这句话是真的，可以推论出这句话是假的；如果它是假的，那么同样 可以推论它是真的。对于这个悖论，用一个“自相关”的概念，解释起来别有一番 味道。其中，“这”就存在着“自相关”。如果说：“狮子就是老虎，这句话是错 的。”“这”是一个多意词，可以指“狮子就是老虎”，而不是指“这句话是错的 ”，排除了“自相关”，悖论也就不存在了。 　　罗素曾经指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它 包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”对于“谎言者悖 论”，如果这句话是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除。比如，一个希 腊人说：“所有克利特人都说谎。”则并不构成悖论。 １－２　“真理悖论” 　　这是一个类似的例子：“世界上没有绝对的真理。”从“反身的自指”角度来 观察，就可以解套。 　　推论下去：如果世界上真的没有绝对的真理，那么上面这句话就是“绝对的真 理”。既然有“绝对的真理”，那么上面的这句话又是错的。就象蚂蚁在单面体上 绕了一圈，最后又把自己给否定掉了。 　　关键是这个“真理”存在着“自相关”。如果说：“过去，人们认为牛顿物理 学是真理：现在，人们认为相对论是真理；将来，人们还会认为其他的什么理论是 真理。如此推下去，世界上没有绝对的真理。” 　　其中，最后一个“真理”是指前面的三个“真理”。没有“自相关”，悖论也 就消除了。 　　悖论是可以根据“自相关”造出来的，如：“我正在撒谎”，中的“正在撒谎 ”；它既可以指这句话本身，也可以指别的什么。如果是别有他指，可以消除悖论 。如：“你说，我正在撒谎？”就是别有他指。 １－３　标准的“语义悖论” 　　上面的这类悖论可以用一个标准的形式表达：如果事件Ａ发生，则推导出非Ａ ，非Ａ发生则推导出Ａ，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是 一个形像的表达。 　　据说，欧洲中世纪的哲学家也常常谈论谎言者悖论，它说明了造成混乱的原因 ，整个论证过程是一个不断反复的循环，无法决定哪一句为真，哪一句为假。《数 学词典》里把这个无法判别“真假”的悖论称为“语义悖论”，并难倒了大哲学家 罗素。 “失败的”罗素 　　数学悖论也许是数学家们感兴趣或迷惑的课题，如罗素悖论。英国哲学家伯特 兰·罗素出生在一个贵族家里，但自幼失去父母，由祖母养大。也许是孤独的创伤 ，他说大自然和书，还有后来的数学将他从失落中挽救了出来。１９０２年他提出 了著名的“罗素悖论”，导致了２０世纪初的数学危机，１９１３年与怀特海合作 写了《数学原理》，试图建立逻辑主义的数学体系，但遇到了一个很大的难题，这 就是悖论。 　　关于罗素悖论，我们将在后面的有关章节里继续漫游。这里不妨首先来看一看 他对“谎言者悖论”的思考，这也是罗素悖论的一个渊源，当由个体延伸到总体（ 集合）时，可以看到罗素对它的困惑，因为“自相关”并不能解决这个问题。 　　罗素在反复思考“谎言者悖论”时，感受到了一种逻辑上的折磨。他在《我的 哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派 的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西 是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在１９０３年的春季，其中一种矛盾 的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。” 　　他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说： ‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他 所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论（同上 ）。” 　　罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题 总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此， 以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“１９０３年和１９０４年这一整个 时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上） 　　《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用 逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一 本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这 个悖论并不容易，因为这里涉及到集合问题，并非排除一个“反身的自指”就可以 胜任。 苏格拉底与庄子：大智者也不能自拔 　　如果我们沿着集合的思路去寻找，就会发现，即使思维严谨的哲学家也无法摆 脱自指的烦恼。例如“苏格拉底悖论”。 ２－１　“苏格拉底悖论” 　　有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４７０－ 前３９９）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家论战 。他用“定义”的方法以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他 的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特 哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了 柏拉图和亚里斯多德的继承。 　　苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。” 　　这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知 道。 　　萧伯纳也说过一句类似的话：“唯一的金科玉律是不要相信任何金科玉律。” 我们不知道，是否应该遵循这个“唯一的金科玉律”。 　　而且，古代中国也有一个类似的著名例子： ２－２　庄子的“言尽悖” 　　在《庄子·齐物论》里，庄子有一个主张叫：“言尽悖。”其中也有“自相关 ”，后期墨家正是抓住了这一点：“以言为尽悖，悖。说在其言”。如果“言尽悖 ”，那么庄子的这个言难道就不悖吗？ 　　此外还有许多类似的例子，如“书目悖论”：一个图书馆编纂了一本书名词典 ，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。又如“所有的规则都可以被修改 ”，但它自身可以比被修改吗？那么它列不列出自己的书名？我们甚至可以照葫芦 画瓢编造许多类似的悖论来。 ２－３　“勋章悖论” 　　授勋于人，勋章上却写者：“禁止授勋。”它的问题就是自己的说法和自己的 使命相矛盾，自己的行为否定了自己的说教。 　　在钮扣上头写着：“不要用钮扣”的“钮扣悖论”。 　　在墙上写着：“不要在墙上涂鸦”的“涂鸦悖论”等等。 　　无怪乎有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也 是一种“压缩的悖论”。悖论（ｐａｒａｄｏｘ）来自希腊语“ｐａｒａ＋ｄｏｋ ｅｉｎ”，意思是“多想一想”，则在矛盾之外。 ２－４　“我没有受贿” 　　一个商人被指控受贿。他宣称：“我没有受贿。” 　　显然，这个商人既是观察者也是被观察者。我们不知道他是以观察者的身份进 行辩护，还是以被观察者的身份进行诡辩。这两种推论都合乎逻辑，如果没有别的 证据，就不能判决（引自“Ｗｅｂ　Ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ　ｏｆ　Ｃｙｂｅｒｎ ｅｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｙｓｔｅｍｓ”）。 　　概括起来，以上诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题 入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。这 里的例子都说明，在逻辑上它们无法摆脱概念自指所带来的恶性循环，成为“怪圈 ”。有没有进一步的解决办法？在下面还将继续探讨。 （１９９９年１１月２２日于美国） 经典悖论漫游　 泽熙 二、“悖论之父”的难题 　　古希腊的哲学家常常为捍卫“真理”而辩论，数学家毕达哥拉斯是为了捍卫数 的“真理”，而稍晚于他的芝诺（Ｚｅｎｏ　ｏｆ　Ｅｌｅａ，约公元前４９０－ 约前４２５）则是要捍卫巴门尼德（Ｐａｒｍｅｎｉｄｅｓ）不变的“真理”。巴 门尼德埃利亚学派创始人巴门尼德认为有一种永恒的和不变的的“存在”，西方形 而上学由此而开创，柏拉图在对话《巴门尼德篇》里记叙了巴门尼德和芝诺的师承 关系。 芝诺：西方的“悖论之父” 　　芝诺曾经提出了一些著名的悖论，据说有４０多个，其中关于运动的十个最著 名。由于“叛国罪”而被处死，他的著作早已失传，人们只有通过亚里士多德的《 物理学》转述才得以了解，对以后数学、物理概念产生了重要影响，是２０００多 年后“第二次数学危机”极其悠久的渊源，偶尔被称为“悖论之父”。我们今天只 能看到芝诺最著名的四大运动悖论。 １－１　阿基里斯悖论 　　阿基里斯（Ａｃｈｉｌｌｅｓ，又译阿喀琉斯）是荷马史诗中的善跑英雄。芝 诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌 龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但 永远追不上乌龟。这就是“阿基里斯悖论”，也有人形像地称它为“龟兔赛跑悖论 ”。 　　有人曾经用物理语言描述过这个问题：在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时 间度量。一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为Ｓ，速度分别为 Ｖ１和Ｖ２。当时间Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）时，阿基里斯就赶上了乌龟。 　　但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个 时间为Ｔ＇。对于任何Ｔ＇，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键 是这个Ｔ＇无法度量Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）以后的时间。 　　据说，希腊有一个哲学家听到这个命题以后，一边不停地踱着步一边沉思着。 他的学生看到后，大喜过望，对老师说：“你的行动不是解决了这个悖论么？”结 果遭到一顿训斥。因为这个问题的解决不在实践中，而在于一个没有缺陷的逻辑推 理却推出了一个荒谬的结果。 　　阿基里斯并非追赶不上乌龟，但如果把路程分割成无穷多段，而要走完无穷多 段的路程，非要无限多的时间不可，这属于今天无穷级数的求和问题。可见，古希 腊人已经产生了对“无限”的思考。 １－２　二分法悖论 　　这也是芝诺提出的又一个悖论：当一个物体行进一段距离到达Ｄ，它必须首先 到达距离Ｄ的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷 地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了Ｄ。也就是说运动的物体永远到不了 终点，或者根本就没有运动。 　　这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。如果从数学的角度看，距 离之间的最小距离如果无限分割可以小到零，大约象惠施说的“至小无内”，那么 无限个零的总和是否也是零？ 　　芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动， 就会有‘完善的无限’，而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在Ｔ时追上了乌 龟，那么，“这是一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗”。 这就是说感官是不可靠的，没有逻辑可靠。 　　他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”。实际上，现在的级数理论告诉我们， 芝诺的级数虽然是无限的，但却是收敛的，是一个可以实现的过程。 １－３　“飞矢不动” 　　在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位 置上和不动没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或者无 限重复的静止就是运动？中国古代也有类似的说法，如“飞鸟之景，未尝动也”， 这是中国名家惠施的命题，与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不 可回避的实事相冲突。此外，芝诺还有另外一个“运动场悖论”。 １－４　运动场悖论 　　跑道上的两列物体Ｂ和Ｃ相对于一列静止的物体Ａ的中间点作相向运动，它们 大小相同，数目相等。因此Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一 倍的时间。 　　亚里士多德对芝诺的悖论持批评态度，认为那是诡辩。对于运动场悖论，他认 为：相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花 的时间当然也不一样。但这个问题似乎没有转述清楚，因为它没有表现出应有的深 度。 　　实际上，悖论的悖论涉及到了时间和空间是否可分的深刻思考，为两千年后爆 发的第二次数学危机埋下了伏笔。罗素曾经为芝诺鸣不平，认为他死后没有得到应 有评价：他虽然发明了四个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣 称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩，直到两千多年后才得 以正名。黑格尔称他是“辩证法的创始人”。 百思不得其解的尼采 　　德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》，专门探 讨芝诺的悖论，并称它们为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步 领先的乌龟完全合乎事实，但为什么“不合逻辑”？因为芝诺运用了“无限”这个 概念，这是一种逻辑上的假设，而现实世界里是不可能有无限者存在的，这就出现 了假设与现实的矛盾。 　　尼采说道：在这两个悖论里，“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无 限是决不可能成为完善的，静止决不可能变为运动，那么，真相是箭完全没有飞动 ，它完全没有移位，没有脱离静止状态，时间并没有流逝。 　　换句话讲，在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中，既没有时间、空间，也没 有运动。最后，连箭本身也是一个虚象，因为它来自多样性，来自由感官唤起的非 一的幻象。下面是尼采的分析： 　　假定箭拥有一种存在，那么，它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的 、永恒的。这是一个荒谬的观念！ 　　假定运动是真正的实在，那么，就不存在静止。因而，箭没有位置、没有空间 。又是一个荒谬的观点！ 　　假定时间是实在的，那么，它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必 定由一个有限数目的瞬间组成，其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬 的观念！ 　　尼采得出这样的结论：我们的一切观念，只要其经验所与的、汲自这个直观世 界的内容被当作“永恒真理”，就会陷入矛盾。如果有绝对运动，就不会有空间； 如果有绝对空间，就不会有运动；如果有绝对存在，就不会有多样性；如果有绝对 的多样性，就不会有统一性。 　　事实上，这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一，今天都已经得到 了完美的解决，这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时，初创微积分，但由 于没有巩固的理论基础，出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初，法国 科学家以柯西为首建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的 严格化，使极限理论成为微积分的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。 　　可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运动佯 谬。感官不同于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如果逻辑与现实发生矛 盾，芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候，直观的形式、象征 或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟，但他无法把它们综合起来。 东方的“悖论大家” 　　战国名家宋国人惠施（约公元前３７０－前３１０）曾任梁国的宰相，论辩奇 才，是庄子的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物，以“辩者”著称。他的著作 多已亡佚，只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段，如《庄子》、《荀子》、 《韩非子》、《吕氏春秋》等。 　　《庄子·天下》中有惠施的一句名言，可以说明二千多年前中国古人同样运用 了无限的概念。这就是惠施所说的：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 　　《墨子·经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。”如 果在有限中引进无限，就可能引起悖论。 　　惠施的学说强调万物的共相，因而事物之间的差异只是一种相对的概念，现存 与惠施有关的奇怪命题，例如，“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡有三足”、“犬 可以为牛”、“龟长于蛇”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝 有母”等，都可以说是悖论，但是大部份没有留下具体的争辩过程。今天，惠施的 悖论在西方也很有影响。我想，他也许可以称为东方的“悖论之父”。 　　毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九六四年八月十八日 ，他同哲学工作者谈话时说：“列宁讲过，凡事可分。举原子为例，不但原子可分 ，电子也可分。”又说：“电子本身到现在还没有分裂，总有一天能分裂的。‘一 尺之捶，日取其半，万世不竭’，这是个真理。不信，就试试看。如果有竭就没有 科学了。” 　　有人注意到，毛泽东十分偏爱这句话，如五十年代中期对家钱三强，一九六四 年八月同周培源、于光远，一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道，等等， 都提到这句话。 　　庄子说：“惠施以此为大，观于天下而晓辩者，天下之辩者相与乐之。”又说 ：“辩者以此与惠施相应，终身无穷。”可见惠施之学在当时盛极一时。《荀子· 不苟》里也说山渊平、天地比等“是说之难持者也，而惠施、东西能之”，可见惠 施有极强的辩才。但因缺乏论证的过程，为后人所弃，是一件十分遗憾的事情。惠 施的名辩在中国成为绝学，有众多的原因，不为“正统”所容是一个重要原因。 　　近代以来，多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士 学位的德国数学家康托尔（１８４５－１９１８）六年以后向无穷宣战。他成功地 证明了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一 对应。由于无限，１厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部 的点都“一样多”。 　　然而，康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突，遭到谩骂。直到一 八九七年第一次国际数学家会议，他的成果才得到承认，几乎全部数学都以集合论 为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。” 　　同时，集合论中也出现了一些自相矛盾的现象，尤其是罗素的理发师悖论，以 极为简明的形式震撼了数学的基础，这就是“第三次数学危机”。此后，数学家们 进行了不懈地探讨。 　　例如，从１９０３年罗素没有成功的《数学原理》，到１９９６年英国剑桥大 学出版社出版的亨迪卡的《数学原理的重新考察》，后者以罗素的《数学原理》为 蓝本的，试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的ＩＦ（Ｉｎ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ－Ｆｒｉｅｎｄｌｙ　Ｆｉｒｓｔ－Ｏｒｄｅｒ　Ｌｏｇｉ ｃ）逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念，如公理集合论作为数学 理论的适当框架，对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引起一场逻辑和数 学基础的革命？我们还将拭目以待。 （１９９９年１１月２２日于美国） 经典悖论漫游　 泽熙 三、古希腊的“智者” 　　古希腊的诡辩学派曾经在逻辑方面有过深入地探索。我们知道，矛盾的前提可 以推导出荒谬的结果，而一个原因往往也可以推导出二个或者多个相悖的结论，而 诡辩家们在这方面的尝试多少有些类似于诡辩。诡辩在现实中是令人厌恶的，但是 在逻辑的探讨中有相当的位置。 　　孔多塞说：“希腊人滥用日常语言的各种弊端，玩弄字词的意义、以便在可悲 的模棱两可之中困搅人类的精神。可是，这种诡辩却也赋予了人类的精神以一种精 致性，同时它又耗尽了他们的力量来反对虚幻的难题。”这是一个很中肯的评论。 普洛道格拉斯：诡辩学者的困境 　　古希腊哲学流派中曾经有一个诡辩学派，又叫智者派。他们对自然哲学持怀疑 态度，认为世界上没有绝对不变的真理。前面提到的那个与苏格拉底对抗的普洛道 格拉斯（Ｐｒｏｔａｇｏｒａｓ，约公元前４８５－前４１０）是其著名的代表人 物，他主张“人是衡量万物的尺度”。雅典政府因其主张无神论，予以驱逐并焚烧 了他的书籍。柏拉图在《普洛道格拉斯篇》里，记录了苏格拉底对那些追随普氏的 门徒进行的讽刺。 １－１　“普洛道格拉斯悖论” 　　在传说中，古希腊人爱瓦梯尔（Ｅｕｌａｔｈｌｕｓ）曾经向诡辩学者学者普 洛太哥拉斯（Ｐｒｏｔａｇｏｒａｓ）学习辩术（另有一说是学习法律）。他们的 约定是：爱瓦梯尔先付一半学费，另一半学费等学成后在第一场辩护胜诉时再付， 如果败诉，则学费不必再交。我们不妨称它为“君子协定”。 　　可是爱瓦梯尔学完后，一去不见返，没有付清另一半的迹象。普洛太哥拉斯找 到这个学生，训斥道：“另一半学费是一定要交的。否则，法庭上见。” 　　学生不解，问：“为什么？” 　　普洛太哥拉斯解释道：“对薄公堂，你胜诉，说明你学会了法律，按协定，付 另一半。如果你败诉，法官也会判你付另一半。总之是要付的，为什么逃避呢？” 　　爱瓦梯尔想了一会，笑道：“不对。如果你胜诉，证明我法律没有学会，不付 ；如果你败诉，法官也会判我不付。总之是不付的（见王九逵《逻辑与数学思维》 ）。” 　　这个问题反过来看，逻辑上也同样成立。如果爱瓦梯尔先说：“如果你告我， 我就可以不付学费了。”普洛太哥拉斯也可以用同样的方式来反驳。如此争论下去 不可能有结果。 　　这两个截然相反的结论是怎么推出来的呢？实际上是双方都默认“君子协定” 和“法官判决”这两个不相容的标准可以同时而且等效地来解决他们的纠纷，成为 他们共同的前提来衡量爱瓦梯尔是否应该付另一半学费。因此，从逻辑上化解它们 的正确方法就是选择其中的一个进行最终裁决，而排除另一个，但是人们却往往陷 于无限的争吵当中。 亚里斯多德：哲学与诡辩 　　“哲学”在希腊语源里也有“爱智”、“明智”的涵意。但从苏格拉底到亚里 斯多德都反对诡辩学说，黑格尔说，苏格拉底常运用他的辩证法去攻击诡辩学派， 尤其是普洛道格拉斯。尽管这些智者的理论多已失传，我们仍然可以从亚里斯多德 的《形而上学》（吴寿彭译）中了解一些当时的论辩盛况。 　　据亚里斯多德记载，出身贵族家庭的柏拉图（Ｐｌａｔｏ，公元前４２７－前 ３４７）曾说：诡辩是专门讨论“无事物”的，因为诡辩派的论题老是纠缠于事物 的属性。例如，“文明的”与“读书的”为同抑异，“文明的哥里斯可”与“哥里 斯可”是否相同？以及每一事物并不常是而今是者，是否便当成是，由兹而引致（ 悖解）的结论（同上）。 　　斥形式逻辑而提倡辩证法的黑格尔（１７７０－１８３１）说柏拉图“发明了 辩证法”：“柏拉图运用辩证法以指出一切固定的知性规定的有限性。他从一推演 出多，但仍然指出多之所以为多，复只能规定为一。”（《小逻辑》） 　　亚里斯多德认为：凡现存的事物其生成与消失必有一个过程，而属性事物则不 然。然而，我们还得尽可能地追踪偶然属性之本质与其来由；也许因此可得明白何 以不能成立有关属性的学术（《形而上学》卷六章二）。在他看来，诡辩理论就是 “有关属性的学术”而不是“属性之本质与其来由”，后者是哲学探讨的问题。 　　诡辩完善的是学术体系，而不是知识。孔多塞在《人类精神进步史表纲要人类 精神进步史表纲要》（何兆武、何冰译）的《第四个时代》中说：然而希腊的智者 和希腊的学人，“并没有发现真理，反而是在铸造各种体系；他们忽视了对事实的 观察，为的是自己好投身于自己的想象之中；他们既然无法把自己的意见置于证明 的基础之上，便力图以诡辩来维护它们。” 　　从中我们可以看到，诡辩学派的致命点就是忽略“本质”而纠缠“属性”，从 现存的事物中推论出悖解的结论来，而不详细考察事物的真实，在实践的基础上加 以证明。因此，对付诡辩最好的方式是运用辩证法并在实践中加以考证。 　　不过，如果只是停留在概念上的也许会令人感到枯燥晦涩，不容易把握，但由 于古希腊诡辩者的言论多以失传，我们不妨用广泛流传的论证予以说明。 ２－１　“什么是诡辩？” 　　有学生问他的希腊老师：“什么是诡辩？”老师反问到：“有甲乙两人，甲很 乾净，乙很脏。如果请他们洗澡，他们中间谁会去洗？” 　　这里有四种可能，一是甲洗，因为他有爱乾净的习惯；二是乙洗，因为他需要 ；三是两人都洗，一个是因为习惯，另一个是因为需要；四是两人都没洗，因为脏 人没有洗澡的习惯，乾净人不需要洗。这四种可能彼此相悖，无论学生作出怎样的 回答，老师都可以予以反驳，因为他不需要有一个客观的标准，这就是诡辩。 　　亚里斯多德认为：辩证家与诡辩派穿着与哲学家相同的服装，但不是一回事。 对于诡辩术，智慧只是貌似而已，辩证家则将一切事物囊括于他们的辩证法中，而 “实是”也是他们所共有的一个论题；因而辩证法也包含了原属于哲学的这些主题 。诡辩术和辩证法谈论与哲学上同类的事物，但哲学毕竟异于辩证法者由于才调不 同，哲学毕竟异于诡辩术者则由学术生活的目的不同。哲学在切求真知时，辩证法 专务批评；至于诡辩术尽管貌似哲学，终非哲学（《形而上学》卷四章一）。 大哲学家的困境 ２－３“亚里斯多德是类概念” 　　亚里斯多德（Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，公元前３８４－前３２２）是希腊大哲学 家和天文学家，曾就学于柏拉图，继承苏格拉底以来的希腊哲学而自成体系，在西 方的影响最大。他系统总结了三段论法原理，奠定了逻辑思维的基础，有西方“逻 辑之父”的称誉。 　　不过，即使是古希腊最有名的哲学家，也难免在悖论的圈套中陷入困境。上面 这句话是严格按照三段论推导出来的结果。请看： 　　（１）亚里斯多德是哲学家， 　　（２）哲学家是类概念， 　　（３）所以，亚里斯多德是类概念。 　　上面这个结论恐怕连亚里斯多德本人也不会认同，因为其中蕴含了一个“语义 悖论”。语句（１）中的哲学家和语句（２）中的“哲学家”不在一个层次上，前 者是对象概念，后者是元概念。两个前提内涵不一致，结论就荒谬了。从根本上来 讲这不是一个语言或语法问题，而是一种逻辑错误。自塔尔斯基在３０年代提出“ 语言层次论”来，就一直受到人们的关注。 　　不仅自然语言，计算机语言同样会出现歧义问题。六十年代，美国计算机专家 设计的ＡＬＧＯＬ６０型计算机答7b序语言，不久就出现了歧义，即Ｂａｃｋｕｓ 范式，它被认为是一个“天生歧义”的陷阱。 ３－２　米诺诘问 　　又譬如，柏拉图在《米诺篇》（Ｍｅｎｏ）里记载过米诺与苏格拉底的一段对 话： 　　米诺问道：你在追求真理？ 　　苏格拉底答到：对，我在追求真理。 　　米诺：那么，你知道什么是真理吗？ 　　苏格拉底：不知道。 　　米诺：你既然不知道什么是真理，即使遇到了真理，你也无法辨别它是不是真 理；如何你能够辨别出真理，那就说明你已经知道什么是真理，那你为什么还要追 求真理？ 　　这是一个聪明的反问，运用了逻辑中的二难推理，可谓“以子之矛功子之盾” ，使苏格拉底难以自圆其说。 ３－３　柏拉图－苏格拉底悖论 　　也许是有人给我们的大哲学家们开了一个玩笑，设计出了下面一个悖论： 　　柏拉图说：“下面苏格拉底所说的是假话。” 　　苏格拉底回答：“上面柏拉图说的是真话。” 　　它又可以简化成： 　　Ａ：Ｂ句是假的； 　　Ｂ：Ａ句是真的。 　　不论那一句为真，都会与另一句相矛盾，不知道苏格拉底、柏拉图将做如何的 解释。这个悖论有很多的演化形式，例如“纸牌悖论”： ３－４　“纸牌悖论” 　　纸牌悖论就是纸牌的一面写着：“纸牌反面的句子是对的。” 　　另一面却写着：“纸牌反面的句子是错的。” 　　这是由英国数学家乔丹（Ｊｏｕｒｄａｉｎ）设计的。无论如何把牌翻来覆去 ，都无法逃离这个无穷的循环，我们同样推不出结果来。它最简单的形式又叫“乔 丹真值悖论”（Ｊｏｕｒｄａｉｎ　Ｔｒｕｔｈ－Ｖａｌｕｅ）： 　　下面这句话是对的， 　　上面这句话是错的。 　　这几个例子完全属于同一个类型。看到这些悖论就如同看到埃舍尔１９４８年 作的版画《画画的双手》，左手在画右手的同时，右手也在画左手。人们面临着的 同样困境，不知道是左手画出了右手，还是右手画出了左手。它表达了和柏拉图－ 苏格拉底悖论同样的意境，两者总是自相缠绕在一起。 “并非知识的智慧” ４－１　谷“堆”的定义 　　在古希腊，还曾经流传这样一个不可置信的推理：如果１粒谷子落地不能形成 谷堆，２粒谷子落地不能形成谷堆（ｓｏｒｏｓ）、３粒谷子落地也不能形成谷堆 ，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。 　　为什么从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说 明定义“堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连 续积累中就形成了悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法 需要引进一个模糊的“类”。 　　这是连锁（Ｓｏｒｉｔｅｓ）悖论中的一个例子，归功于古希腊人欧布利德斯 （Ｅｕｂｕｌｉｄｅｓ），后来的怀疑论者不承认它是知识，但知识不一定是智慧 的尺度。“ｓｏｒｏｓ”在希腊语里就是“堆”的意思。 　　最初，这是一个游戏：你可以把１粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把２粒谷 子说成是堆吗？不能；你可以把３粒谷子说成是堆吗？不能。但是你迟早会承认一 个谷堆的存在，你从哪里区分他们？ 　　它的逻辑结构是： 　　１粒谷子不是堆， 　　如果１粒谷子不是堆，那么，２粒谷子也不是堆； 　　如果２粒谷子不是堆，那么，３粒谷子也不是堆； 　　－－－ 　　如果９９９９９粒谷子不是堆，那么，１０００００粒谷子也不是堆； 　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 　　因此，１０００００粒谷子不是堆。 　　按照这个结构，无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多都曾是古希腊人争论的 话题（见《不列颠百科全书》）。我们看到，这些问题与第二部份惠施的某些命题 “山与泽平”、“火不热”、“矩不方”等，有相似之处。 ４－２　秃头的定义 　　这也是“连锁悖论”中的一例，本身也很有名，但和上面的游戏完全一样。最 早叫Ｆａｌａｋｒｏｓ谜： 　　你可以把只有１根头发的叫秃头吗？不能；你可以把只有１根头发的叫秃头吗 ？不能；你可以把只有１根头发的叫秃头吗？不能。但是你不会把有一万根头发的 人叫秃头。你从哪里区分他们？ ４－３　“一整袋谷子落地没有响声” 　　在古希腊，还流传着一个以谷子有关的故事：如果１粒谷子落地没有响声，２ 粒谷子、３粒谷子落地也没有响声，类推下去，１整袋谷子落地会不会有响声？ 　　响声是由振动引起的，１粒谷子落地可能引起的振动太小，人耳听不到，但是 用仪器却可以测得出来。而一袋谷子落地引起的振动大，人耳自然就可以听得到了 。 　　应该注意，古希腊辩论家的用意不在于此，他们并不是真的要探讨事实或者是 探讨知识，而是试图找到逻辑演绎与事实的差别。如果承认谷子落地从没有响声到 有响声是一个系列，那其间也会有一个变化的模糊区域。 ４－４　“度”在哪里？ 　　这是一个中国人所熟悉的问题。在现代哲学里，有一个从量变到质变的变化， 中间有一个“度”。例如：一个宝塔，如果从下面抽走它的砖，一块一块地抽，这 是量变。当到达一定的度时，“砰”的一声，宝塔倒塌了，发生了质变，说明宝塔 没有了。我们可以看到有一个准确的“度”。 　　但是现在从上面拿走它的砖，一块一块地抽，这也是量变。直到拿完，宝塔不 存在了，发生了质变，在这里，我们就不容易找到从量变到质变变化的那个“度” 了。如果说前者叫突变，后者叫渐变，那么渐变的“度”在何方？ （１９９９年１１月２２日于美国） 经典悖论漫游　 泽熙 四、古中国的“辩者” 　　和古希腊的诡辩学派一样，古代中国的名辩之学也曾经在逻辑探索上面有巨大 的贡献。冯友兰先生在《中国哲学简史》第八章《名家》里专门讨论了古代中国的 辩者。他认为，中国的“名家”不完全等同于西方的诡辩家、逻辑家或辩证家。如 果说古希腊的辩证家和诡辩派专攻属性而不是本质的话，那么名家则重点在于研究 “名”与“实”的关系，而且重“名”甚于重“实”，这是他们的辩论实质。冯友 兰认为中国的“名家”应该翻译为“Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｎａｍｅ”以示区别， 在《不列颠百科全书》上的翻译正是这样的。 名不符实的“雄辨” 　　古代中国的经典悖论盖出自名家，他们是战国时期的一大学派，始于邓析，后 有惠施、公孙龙等大家。对于这个时代，班固在《汉书·艺文志》中曾经形容道： “战国纵横，真伪莫辨，诸子之言，纷然淆乱。” 　　“名”与“实”关系的争论对中国哲学的影响巨大，这里的“名实”就是名目 与实际。有“孔子有正名、老子有无名、墨子有取实予名的争辩”一说。除名家以 为，荀子对古逻辑学的贡献也很大。 　　公孙龙的辩论执名为实，“专决于名”而不落实到经验的事物，看看他的雄辩 ，就会发现一些奇怪的问题。《庄子·秋水篇》提到，公孙龙曾经自夸：“困百家 之知，穷众口之辩”。 １－１　“白马非马” 　　战国时赵国人公孙龙曾经着有《公孙龙子》一书，平原君礼遇甚厚。其“白马 非马”和“坚白异同之辩”都是他的著名命题。他研究名学，与许多人认为中国文 化中有“重具体而忽略抽象，重体验而短于思辨”的倾向大不相同，甚至是反其道 而行。 　　据说，公孙龙有一次骑马过关，把关的人对他说：“法令规定马不许过。”公 孙龙回答说：“我骑的是白马，白马不是马，这可是两回事啊。”公孙龙的“白马 ”有没有过关，我们不得而知。从常人的观点来看，守关的兵士八成认为公孙龙是 在诡辩。这大概也是一个逻辑上“莫能与辩”，现实中不能成立的例子。 　　冯友兰认为《公孙龙子》里的《白马论》对“白马非马”进行了三点论证： 　　一是强调“马”、“白”、“白马”的内涵不同。“马”的内涵是一种动物， “白”的内涵是一种颜色，“白马”的内涵是一种动物加一种颜色。三者内涵各不 相同，所以白马非马。 　　二是强调“马”、“白马”的外延的不同。“马”的外延包括一切马，不管其 颜色的区别；“白马”的外延只包括白马，有颜色区别。外延不同，所以白马非马 。 　　三是强调“马”这个共相与“白马”这个共相的不同。马的共相，是一切马的 本质属性，它不包涵颜色，仅只是“马作为马”。共性不同，“马作为马”与“白 马作为白马”不同。所以白马非马。 　　前面我们说到，辩证法是在对付诡辩论的过程中发展起来的。黑格尔在《小逻 辑》中说：“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看事物 ，把本身片面的、抽象的规定，认为是可靠的。”（《逻辑学概念的进一步规定和 部门划分》） 　　从辩证法的角度看，“白马非马”割断了个别和一般的关系。白马属于个性， 特指白颜色的马；马属于一般，具有各种颜色马的共性。公孙龙区分了它们之间的 差别，但又绝对化了这种差别。白马尽管颜色上不同于其他的马，如公孙龙提到的 黄马、黑马，但仍然是马。作为共性的“马”寓于作为个性的“白马”之中。“马 ”作为一般的范畴，包括各种颜色的马，公孙龙的白马自然也不例外。 １－２　“杀盗非杀人也” 　　这个命题与“白马非马”何其相似，尽管论证的方法和目的各不相同。荀子把 墨辩“杀盗非杀人也”归入“惑于用名以乱名”的诡辩。荀子认为，在外延方面“ 人”的范畴包含了“盗”的范畴。所以，说“盗”的时候，就意味着说他同时也是 “人”；杀“盗”也是杀人。 １－３　坚白石论 　　坚白石论指一块“坚白石”，它有坚、白、石三个要素组成。公孙龙主张“坚 ”为石头的特性，“白”为石头的颜色。眼睛看到的这块石头是白色的，手触摸到 的这块石头才知到它是坚硬的；白色由视觉而得，坚硬由触觉而来，坚与白不能同 时被认知。因此，公孙龙认为，就一块坚白石而言，人不可能同时认识到其中三个 组成要素：坚、白、石，而只能是“坚石”或“白石”。 　　这是从感知的角度来证明坚、白彼此分离，是分析方法的早期运用。“离坚白 之辩”是古代中国的一个著名命题，习惯上人们并不接受这种纯粹语言分析式的方 法，但是对于名家自身来讲，如果没有精密的思考，也不可能提出这些深刻的问题 。 《吕氏春秋》中的两大范例 ２－１　邓析赎尸诡论 　　邓析生在春秋末年，与老子和孔子基本同时，是战国名家的鼻祖，著名的讼师 ，他的著作已经失传。但是在《吕氏春秋》里记载了这样一个故事： 　　洧水发了大水，淹死了郑国富户家的一员。尸体被别人打捞起来，富户的家人 要求赎回。然而捞到尸体的人要价太高，富户的家人不愿接受，他们找邓析出主意 。邓析说：“不用着急，除你之外，他还会卖给谁？”捞到尸体的人等得急了，也 去找邓析要主意。邓析却回答：“不要着急，他不从你这里买，还能从谁那里买？ ” 　　同一个事实，邓析却推出了两个相反的结论，每一个听起来都合乎逻辑，但合 在一起就荒谬了。邓析是不是希望他们相持一段时间后，双方都可以找到一个可以 接受的价格平衡点？我们只能猜测。 　　后来，邓析被杀，就是因为子产认为他“以非为是，以是为非，是非无度，而 可与不可日变”。可见，邓析虽然洞悉名辩之学，但在做事情上也是一个没有原则 的人。身为讼师，邓析善于辞辩，而不跳出诡论寻找客观的解决办法。严谨的逻辑 推理固然具有说服性，但最终还是要回到现实中来。 ２－２　“父在母先亡” 　　从邓析诡论可以令人想到那些古代“街头智者”的巧辩。“父在母先亡”是一 个可以自圆其说的乩语。它有四种解释：一是“父在，母先亡”；二是“父在母之 先亡”；三是如果父母健在，可以解释为将来；四是即使父母都去世了，也可以解 释为“父亲在的时候，母亲就去世了。”或者是“父亲在母亲以前就去世了。”真 是左右逢源。 　　从逻辑顺序上看，上面这两个例子正好是反其道而用。无论正命题还是反命题 都可以根据所谓的客观理由进行诡辩，形成自圆其说或诘难。所以葛拉西安在《智 慧书：永恒的处世经典》中说：“诡辩是一种欺骗，乍一听，它蛮有道理，并因其 刺激、新奇而令人心惊，但随后，当其虚饰之伪装被揭穿，就会自取其辱。” ２－３　公孙龙论秦赵之约 　　《吕氏春秋》中还介绍过公孙龙的一个诡论：秦国与赵国订立条约：今后，秦 国想做的，赵国帮助；赵国想做的，秦国帮助。不久，秦国兴师攻打魏国，赵国打 算援救。秦王不高兴，差人对赵王说：秦国想做的，赵国帮助；赵国想做的，秦国 帮助。现在秦国要打魏国，而赵国援救他们，这是违约。赵王把这个消息转告给平 原君，平原君向公孙龙请教。公孙龙回答：“赵王也可以派人对秦王说：赵国打算 援救魏国，现在秦国却不帮助赵国，这也不合乎条约。” 　　不管这个寓言的真实性如何，他的推理无懈可击。公孙龙对于秦赵之约的回应 ，与邓析赎尸诡论一脉相承。但公孙龙是站在弱小的赵魏这一边反对强秦的。 名家的“古怪辩题” ３－１　“卵有毛” 　　惠施曾经与一个辩者辩论过这个题目。辩者说鸡蛋里面有毛，惠施却反对。 　　辩者说：“如果鸡蛋里没毛，那么孵出来的小鸡怎么身上有毛？”惠施说：“ 鸡蛋里只有蛋清和蛋黄，没有毛。你什么时候看见过鸡蛋里面有毛了？小鸡身上的 毛是小鸡身上的毛，不是鸡蛋里的毛。”但是辩者不能接受。 　　辩论双方都以“眼见为实”做标准，从而忽视了从没有毛到有毛的转化过程。 不知道生物学对此会作出什么解释，从方法上来讲，他们没有界定毛从无到有的界 限，似乎都不接受“小鸡身上的毛也可能是鸡蛋里的毛”的模糊区域。 ３－２　“鸡三足”？ 　　《公孙龙子·通变论》中是这样说明的：“谓鸡足一，数足二，二而一故三。 ”大意是说：鸡足的本质称为“一”，鸡足的现象称为“二”，把鸡足的本质与现 象统一起来就称为“三”。 　　实际上，公孙龙子在认识鸡足的特性和本质方面十分有价值，但把它们加在一 起“二而一故三”就不免荒谬。因此类比下去还有“谓牛羊足一，数足四，四而一 故五。”这就出现了他后面所说的“牛羊足五，鸡足三”等。 “辩者之囿” 　　荀子对名家辩士进行了讨伐，说他们“不法先王，不是礼义；而好治怪说，玩 琦辞。甚察而不惠，辩而无用，多事而寡功，不可以为治纲纪。然而其持之有故， 其言之成理，足以欺惑愚众。是惠施、邓析也。”这已经不是在进行学术探讨，而 几乎是在问罪（《荀子·非十二子》）。 　　尽管当时的名家“辩论天下无敌手”，但是遭到诸家反对。庄子说他们：“饰 人之心，易人之意，能胜人之口，不能服人之心，辩者之囿也。”“辩者之囿”正 是名家没有超脱出来的悖论。名家也许认为自己的学说在于“循名责实”，但结果 却往往被认为是流于诡辩。荀子认为他们：“虽辩，君子不听。”这的确是名家的 吊诡，以致先秦名辩终成为绝学。 　　中国古有名辩逻辑，唐代传入印度因明，近代又引进了西方逻辑，成为世界三 大逻辑的汇合点。黑格尔在《小逻辑》里说：“一说到诡辩我们总以为这只是一种 歪曲正义和真理，从一种谬妄的观点去表述事物的思想方式。但这并不是诡辩的直 接的倾向。诡辩派原来的观点不是别的，只是一种‘合理化论辩’的观点。”这是 针对古希腊人说的，对中国的名家来讲，同样适合。 　　庄子是战国时代名声很大的隐士，他本人也极其善辨，惠施常常是他的辩论对 手，并有过一场著名的“濠梁之辩”。不过，庄子也有自己的“囿”，除了“言尽 悖”以外，还有一个： ３－１　“辩无胜” 　　庄子对辩论有一个观点，记录在《齐物论》里，被后人归纳为“辩无胜”。庄 子认为，辩论决定不了胜负，胜的一方未必正确，败的也不一定错，或者一对一错 、或者都对、或者都错。但他在发表这番见解的时候却正在与人辩论。在后期墨家 看来，他若说服了对手，辩赢了，这个事实正好与他想说的相反。即使没有与人辩 论，如果自指，也是一个“不辩之辩”，如果这个说法是对的，为人所接受，那么 这就是一个胜辩；反之，就是对手获胜，怎么也达不到“辩无胜”。 ３－２　“彼亦一是非，此亦一是非。” 　　这是《庄子·齐物论》中的一句话，以强调事物的相对性而著称，没有绝对真 理，庄子解释说：人睡在潮湿的地方会腰疼，但泥鳅会腰疼吗？人爬到高树上会胆 怯，猿猴会胆怯吗？于是，他得出结论：“彼亦一是非，此亦一是非。”各有各的 相对标准。 　　《团结报》曾经刊登过一篇一勺的《名师出高徒》，将了一个效仿庄子之言的 例子：康白情１９１９年前在北京大学选修马叙伦先生的“老庄哲学”，没有一次 不迟到。有一次，马叙伦责问康白情为什么总是姗姗来迟。康白情回答：“住得太 远。”马先生不以为然，反问道：从你的住处走到这里只要三、五分钟，怎么叫太 远！康白情也不示弱，说：先生讲庄子，庄子说：“彼亦一是屋非，此亦一是非” 。先生不以为远，而我以为远。马叙伦一时无话可说。可谓“能胜人之口，不能服 人之心”。 ４－１　“智慧”的多意性 　　我们的世界充满了歧义，任何事情都可能是在一个不确定的镜子里，投射到认 识的误区当中。无论是拉丁文的“ｓａｐｉｅｎｔｉａ”、印度文的“ｐｒａｊｎ ａ”、希伯来文的“ｈｏｋｈｍａｈ”、阿拉伯文的“ｉｒｆａｎ”，还是希腊文 的“ｓｏｐｈｉａ”都可以翻译为中文的“智慧”，但内涵可能完全不一样，甚至 相反，这也许是智慧的一个“悖论”。 　　古希腊人把“哲学”叫“爱智”（ｐｈｉｌｏ－ｓｏｐｈｉａ）。在柏拉图的 《菲得洛斯》（Ｐｈａｅｄｒｕｓ）里，苏格拉底说，智慧并不属于人，是至高无 上的，但那些爱慕智慧的人有一个恰当而谦逊的称呼，就是“爱智者”。 　　这里，“ｓｏｐｈｉａ”指的是一种纯粹的智慧，而不是今天那些被关在学术 监狱里的哲学，因为学术抛弃了古希腊爱智者的雄心，即让我们变得更加聪慧。相 反，它跑到了数学运算或术语堆里去了。 　　古印度人管智慧叫“般若”（ｐｒａｊｎａ），是一个完全不同于希腊人的定 义，《智度论》里称它：“最为第一，无上无比无等，更无胜者。”和希腊人长于 分析、论证、推理等“外在”的智慧不同，般若是一种“依义不依语”的内在智慧 。 　　《圣经》里也有：“敬畏耶和华是智慧的开端。”然而，这又是一种不同的智 慧，即“得救的智慧”。 　　孔子倡导“仁且智”，包括了既爱智慧，也爱学问，这和希腊哲人单单追求智 慧还大不一样，他们掌握知识不过是为了寻求智慧。但双方又有一个共同点：智慧 不是学问。今天，我们可以在互联网上检索知识，但找不到智慧。因此，有人称追 求智慧是“不可求索的求索”、“不可品尝的品尝”。 （１９９９年１１月２２日于美国） 经典悖论漫游　 泽熙 五、禅宗公案多悖论 　　在佛经里，有一个词叫“般若”，一般翻译为“智慧”，是指大彻大悟的大智 慧，如“般若智慧”。我们知道，围绕宗教，如佛教、基督教和道教等，都有一些 非理性或超越理性的非常思维，而且历史十分悠久，纷纷成为自己一套独特的逻辑 体系。它们往往超越了普通的生活常识和形式逻辑的范畴，这就不能不涉及到悖论 问题。 　　 白居易的发现 １－１“知者不言，言者不知” 　　语言是表达意义的工具。中国古人却很早就认识到了语言的缺憾。老子说：“ 道常无名。”孔子也认为：“书不尽言，言不尽意。”古书里也有“意不称物，文 不逮意”。例如在智慧书《老子》里就存在着一个悖论。 　　老子的“知者不言，言者不知”可以看作是一条悖论，被白居易一语道穿。白 居易在《读老子》一诗里吟道：“言者不知知者默，此语吾闻于老君。若道老君是 知者，缘何自着五千文？” 　　这个悖论的关键是老子言行不一。“五千文”是言，根据他的定义当属“不知 ”。而实际上他是知的，那“五千文”就是证明，所以这是个悖论。它类似于前面 介绍的“勋章悖论”、“钮扣悖论”或“涂鸦悖论”，自己的行为违背了自己的表 述。 　　不过，老子的悖论相对于禅宗公案中的悖论来讲，只是小巫见大巫。 “般若非般若是之谓般若” 　　这是佛经对“智慧”的定义，意思是：“智慧可以定义为，智慧就是非智慧。 ”或者“如果Ａ≠Ａ时，就是Ａ。”很显然，这句话就是一个自相矛盾的悖论。 　　在禅宗里，常常是采用公案的形式表现出来。所谓“公案”，就是禅师开悟的 故事或非逻辑的言行，“禅”是佛教静思修行的方法，在浩如烟海的佛学中多有记 载。例如在禅宗里有一个“看话禅”，禅师以公案中的某些非逻辑、通常不可解的 话语，让弟子参究，以杜塞其思量分别，迫使他们的智慧迸发，得以见到自己的“ 心性”。当禅师启发弟子开悟而提出悖解的问题时，弟子就要在考验中过迷悟的“ 禅关”。而禅诗、禅语就是他们把禅悟的理解、感受用文字的形式表现出来。 　　对于禅宗公案的悖论形式，成中英在《禅的诡论和逻辑》（《中华佛学学报》 第三期，１９９０年４月）一文里认为，公案是诡论，也就是悖论。比照标准的“ 语义悖论”形式：如果事件Ａ发生，则推导出非Ａ；非Ａ发生，则推导出Ａ。可以 简单地表示为： 　　如果Ｐ是真，那么Ｐ是假。 　　成中英认为禅诡论扩展的一般形式是： 　　如果Ｐ是Ｑ，那么Ｐ不是Ｑ。 　　尽管禅宗公案变化无常，依境而发，但其诡论根源都离不开这一反矛盾律的形 式。铃木大拙在《禅：答胡适博士》（Ｚｅｎ：Ａ　Ｒｅｐｌｙ　ｔｏ　Ｄｒ．Ｈ ｕ　Ｓｉｈ）一文中也说：“我们一般推论：Ａ是Ａ，因为Ａ是Ａ；Ａ是Ａ，所以 Ａ是Ａ。禅同意或接受这种推论方式，但是，禅有它自己的方式，这种方式并不是 一般可以接受的方式。禅会说：Ａ是Ａ，因为Ａ不是Ａ；或Ａ是Ａ，所以Ａ是Ａ。 ”正如“般若非般若是之谓般若。”这样一个定义。 　　又譬如宋朝的道原在《景德传灯录》里有这样一个记载：药山惟俨禅师坐次， 有僧问：“兀兀地思量什么？”师曰：“思量个不思量的。”曰：“不思量的如何 思量？”师曰：“非思量。”大意是说惟俨禅师正坐着，有僧问他在“思量什么？ ”禅师答到：“思量不思量的。”于是这个僧又问道：“既然是不思量的，又怎么 去思量呢？”这个问题实际上揭示了其中的悖论，于是，禅师回答：“非思量。” 从“思量个不思量的”到“非思量”，在禅师看来并无不妥，而且回答了问题。 一个不同的逻辑世界 　　从本质上看，“拈花微笑”可以说是一个总的源头。据说，释迦牟尼在一次法 会上，手里拿着一支荷花，没有人可以解，只有摩诃迦叶能契悟佛意，露出微笑， 因此得到佛陀的佛法。这是一个禅宗传承的故事，开启了禅宗以心传心的法门。杨 惠南在《论禅宗公案中的矛盾与不可说》一文里认为这是一个“不可说”的公案。 在释迦拈花、迦叶微笑的默默无语当中，把佛的真意传了出来，即“一笑拈花转悟 禅”。“教外别传，不立文字，直指人心，见性成佛。”也许最能表达禅宗超脱悖 论的立场，是一个凡“立文字”就有“破文字”的二律背反，进入“佛不可言、言 不达义”的悖论。 　　语言是思维的载体，思维借助文字符号表达出来，因此语言的运用就反映了思 维的逻辑。禅宗有自己的逻辑，并借助公案表现出来。它们不必遵循辩证逻辑，也 可以完全抛弃形式逻辑的四大基本规律： 　　同一律：Ａ是Ａ，Ｂ是Ｂ，等等； 　　矛盾律，Ａ不是非Ａ，Ｂ不是非Ｂ，反之亦然； 　　排中律，在Ａ或Ｂ之间必居其一，没有中立； 　　充足理由律：Ａ真，因为Ｂ真，并且Ｂ能推出Ａ。 ２－１　“见山不是山，见水不是水。” 　　这是唐代禅师青原惟信谈到其对禅体验的三个境界时说的：三十年前没有参禅 时，见山是山，见水是水。后来有个入处，见山不是山，见水不是水。而今得个歇 处，依前见山只是山，见水只是水。 　　其中“见山不是山，见水不是水”是一种单一形式的悖论。在禅宗里这类例子 不胜枚举。如反矛盾律的有：“我是他，但他不是我”、“得即是失”。反排中律 的有：“既不是肯定也不是否定，二者都不对，你应该怎么说？”和“勿言生，勿 言无生”等。 　　它们背后的禅理是语言和逻辑所无法达到的，这就是“空”，一种修行的悟解 。如果围绕公案（悖论）、悟、空等基本概念，就可以对禅有一个基本的了解，禅 宗公案的语言充满了双关性，借助直观的内省去超越文字的悖论。 ２－２　禅诗悖论二则 　　这是二首很有名的禅诗。一首是： 　　菩提本无树，明镜亦非台；本来无一物，何处惹尘埃。 　　据说六祖慧能在读到《金刚经》中“应无所住，而生其心”一句时，豁然感悟 ，写下这首禅诗。其中表达了一个“空”的思想。慧能还提出过一些反排中律的命 题，如“无方圆大小”、“无有头尾”，认为诸如“方圆”、“大小”、“头尾” 的矛盾也是“空”的。另一首是： 　　空手把锄头，步行骑水牛；人在桥上走，桥流水不流。 　　这是南北朝时期的一位禅师善慧大士（傅翕）写的一首禅诗，来表达他所体悟 的与观察相悖的禅理。杨惠南认为这是一个“矛盾公案”，其中充满了与事实相矛 盾的语词。 　　在语言世界里，公案不可回避地会遇到逻辑悖论。禅诡论对于那些还没有证得 禅悟的人来讲是悖论，但是对于已经“开悟”的人来讲，悖论也就不再是悖论，因 为他们超越了理性，禅师们运用起悖论来反而显得自在坦然。 ２－３“瓶中取鹅” 　　某人在瓶子里养了一只鹅，从小就养，当鹅长大以后，而瓶口显然小得不足以 把鹅完好地取出来。如果既不希望将瓶子打破，也不想把鹅杀死，有什么办法可以 让鹅出来？ 　　这一悖论需要在对话中来完成。禅师的答案可以是趁那个人不注意时，叫他的 名字，那人答应一声：“干什么？”禅师说：“鹅已经出来了。”这种回答在逻辑 上是反充足理由律的，但是对禅师来讲则是超越了原来语意框架。在真如本体里， 不相干的事物也相干起来。 　　这里的“瓶子”不是人们熟悉的瓶子，这里的“鹅”也不是人们熟悉的鹅，不 能按通常的意思来判断，因为这是一个悖论，禅师并不需要按思维的方式进行推理 。 ２－４　答非所问 　　这里，问与答都没有悖论，但是合起来就是悖论。选择杨惠南文中的三个例子 ： 　　问：何为祖师西来意？答：庭前柏树子。问：什么是曹溪一滴水？答：那是赵 河一滴水。问：佛陀沈默时是什么意思？答：树中的鸽声。 　　由于禅认为任何理性的思考都无法帮助人们获得佛意义上的终极真理，因此不 管是问与答，还是问答的总合，逻辑不连贯、语言反常规并不影响禅的宗旨。 　　公案无意关心某一具体陈述或问题，语言强化矛盾在于回答什么是“悟”，而 “悟”本身并不需要任何形式的语言。佛教的终极存在，是一个用语言无法刻画的 “真如本体”。因此，“但有言说全无实义”。公案不过是禅宗践行者在致力于“ 悟”的过程中产生出来的，它的内容是悖论，“悟”出的结果“空”也难以用通常 的语言和逻辑来描述。 　　“空”到什么程度？在蔡志忠《禅说》里有个“一物不持”的故事：有人说： “我抛弃了一切，两手空空。”禅师回答：“那就放下吧。”那人问：“我连一物 都没有，要放下什么？”禅师喝道：“那么你就带着吧。”可见，即使空到只有空 的念头也还不能算空。 （２０００年２月７日于美国） 经典悖论漫游　 泽熙 六、“二律背反”的世界 　　１７８１年，德国哲学家康德（Ｉｍｍａｎｕｅｌ　Ｋａｎｔ，公元１７２４ －１８０４）发表了《纯粹理性批判》，他在考察了宇宙时间是否有开端、空间是 否有极限等问题以后，称它们为纯粹理性的“二律背反”。康德归纳的“二律背反 ”，不过是用现代的角度概括了古老的悖论问题，指可以对同样的问题提出两个相 反的判断，尽管这两个判断作为结论正好相反，但逻辑上却又都是成立的。 悖论诘难的智慧 　　在康德的那个时代，他发现有两种同样令人信服的论据证明宇宙是有开端的正 命题和没有开端的反命题。他对正命题的论证是：如果宇宙没有一个开端，则任何 事件之前必有无限的时间，他认为这是荒谬的。康德对反命题的论证是：如果宇宙 有一开端，在它之前必有无限的时间，为何宇宙必须在某一特定的时刻开始呢？无 法解答。 　　今天，这个问题已经有一个答案。“大爆炸”理论揭示，宇宙是有开端的，时 间也是在大爆炸时才开始，而那以前的“时间”是没有意义的，因为所有科学定律 因失效而无法作出推测，修正“无限时间”的看法。 　　在１９２９年哈勃观测到宇宙正在膨胀，进而把宇宙起点的问题带进科学王国 以前，有关争论实际上是一个形而上学或神学的问题。所以霍金讲：大爆炸模型并 没有排斥造物主，但对他何时从事这一工作加上了时间限制（霍金《时间简史：从 大爆炸到黑洞》第一章）。不过，我们这里所要探讨的，不是严肃的哲学话题，而 是“二律背反”的智慧诘难。 １－１　“上帝的悖论” 　　夏尔曼在小说《爱情与逻辑》中有一段对话，其中谈到一个影响广泛的悖论（ 见《鹿鸣》１９８２年２月，徐琳钧译）： 　　“假如上帝万能，那么他能不能造一块重得他自己也搬不动的石头呢？” 　　许多人都听说过这个“上帝的悖论”，却没有听到很好的答案，大约是没有。 夏尔曼的解释是：“如果一个论点的前提自相矛盾。那么这论点就不能成立。有了 不可阻挡的力，就没有不可推动的物，而有了不可推动的物；也就没有不可阻挡的 力。”这就是指这个悖论的前提有毛病。 　　从逻辑上看，一个陈述不应该有两个或多个不相容的前提假设，即使是隐含的 ，也无法进行推理。即使是硬推出个“理”来，也不过是个“悖论枣”，如“纸牌 悖论”，让人咀嚼不透。 　　基督徒相信上帝是全能的，但从逻辑上看：如果上帝不能造出这样一块石头， 他不是全能；如果上帝可以造出这样一块石头，但他举不起来，他也不是全能的。 因此，有一个简单的结论：上帝不是全能的。因此，不少人用这个问题来诘难基督 徒。 　　这个悖论尽管推理过程无懈可击，但问题本身却没有答案。它等于问：“什么 都能做的上帝能否作一件他不能做的事情？”问得不合逻辑，既说上帝是全能的， 又问他是否有例外。如果承认上帝是全能的，就没有后面的问题。前提与问题自相 矛盾，结论自然推理不出来。 　　更重要的是，这里还存在着一个“超理性”的问题。根据《圣经》，上帝是一 个“灵”，人们看不见摸不着，不在理性的范畴。按照康德的二元论，主观与客观 平行而无法统一，人不可能按照自己的逻辑来理解这个“自在之物”。因此，只有 信仰才能跨越这条鸿沟。那么，理性的“证明”或“反证”都可能为先设的结论服 务，最终由超越理性的“信”或者“不信”来决定，这是超越论的另外一种非逻辑 的解释，也超越了我们要探讨的话题。 １－２　“鸡－蛋难题” 　　为了进一步揭示隐含的前提，我们看一个更明显的例子：“先有鸡，还是先有 蛋？” 　　这个陈述里也隐含着两个“不言而喻”的前提假设：“鸡一定是由蛋孵出来的 ”，而“蛋又一定是鸡生出来的”。单独来看，每个观察似乎都符合日常观察，但 合起来却是不相容的，是一对不自洽的假设。因为两个前提假设中，只有一个是真 的，这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱。 　　从内容上讲它又是一个生物学难题，构不成悖论。进化有先有后，需要实际的 考证，如考古学和生物学的研究成果等，真实的过程需要等待考古学家的发现和科 学家的检测才能打破这一无限循环。 　　但从形式上讲，它是一个逻辑问题，是一个“无穷倒退”，就象镜子照镜子， 可以无限地倒退回去，成为思维的一个困境。逻辑学只能做到这一步，而不能代替 生物学的探索。也许有人认为无限在现实中根本不存在，但在理论上是存在的，例 如数学中的无穷大、渐进线等概念。 １－３　“两小儿辩斗” 　　其实，中国古代就有这样的例子，只是把前提中的矛盾揭示得更加鲜明。例如 《列子》里有一则寓言，“两小儿辩斗”，说的是孔子在游历的途中，见两个小孩 在争论。 　　一个说：“我认为太阳刚出来的时候距离我们近，中午就距离我们远。因为太 阳刚出来的时候像马车上的遮阳伞那么大，中午只有盘子那么小。这不是说明大是 因为近，小是因为远吗？” 　　另一个说：“我认为太阳出来的时候离人远，中午反而近。因为太阳刚出来的 时候人觉得很凉快，到了中午就觉得很热。这难道不是说明远了觉得凉，近了觉得 热吗？” 　孔子一下愣住了，这也许是列子故意诘难，而编造了这样一个故事。其实，关键 不在结论，而是哪个标准更可靠，是“近大远小”还是“近热远凉”？或者都不可 靠？在回答问题以前，应该搞清楚哪个标准更可靠。这已经成为今天科学的一个常 识，只是两千多年前的孔子并不知道。 已经解决了这个“难题”。 １－４　“自相矛盾” 　　这是一个最经典的例子，因前提不相容而推不出结论，是《韩非子·势难》里 的一则寓言：有一个同时卖矛和盾的楚人。他先夸他的盾最坚固，无论什么东西都 戳不破；接着又夸他的矛最锐利，无论什么东西都能刺透。旁人问他：如果用他的 矛来刺他的盾会有什么结果，他不能答。 　　显然，这个问题没有答案。楚人一方面吹嘘“吾盾之坚，物莫能陷。”另一方 面又得意于“吾矛之利，于物无不陷。”自然推不出合理的结果。从前提上看，旁 人所指出的“可刺透任何东西的矛”与“不能被任何东西刺透的盾”是不能同时同 地存在的。 　　这是一个既不可以同时为真，也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾，也就 无法推出结论。 １－５　“万能溶液” 　　顺便提一下两个类似的现代悖论。一年轻人曾雄心勃勃地告诉爱迪生，要发明 一种“万能溶液”，可以溶解所有的物质。爱迪生则反问道：“那你用什么容器来 装载这种溶液呢？” 　　也许这个年轻人应该首先发明一种不被溶解的“万盛容器”，但“万能溶液” 又必须把它溶解，落入了韩非子笔下的“矛”与“盾”。 １－６　“第二十二条军规” 　　这是一条臭名昭著的军规。它规定神经失常的飞行员可以停飞，但同时又规定 申请停飞者必须头脑清醒。试想，一个神经失常的人不能申请，必须飞行；而头脑 清醒者又怎么能证明他是神经失常？这纯粹是一条欺骗性的悖论。 帕斯卡的“概率难题” 　　帕斯卡是概率论的奠基者之一，他晚年戏剧性地提出：上帝存在或者不存在， 不可以用推理来回答。但可以把这个问题看作是一个硬币的两面，各有二分之一的 概率“计算出来”，每个人可以有自己的选择，我们不妨称之为“帕斯卡难题”。 ２－１　“帕斯卡难题” 　　这个难题有四种选择： 　　假如拒绝，而教义又是假的，你没有什么损失； 　　如果拒绝，但教义如果是真的，你就会在地狱里受苦； 　　假如接受，而教义又是骗人的，你可能什么也得不到； 　　如果接受，而如果教义是真实的，你就可以进天堂。 　　因此，他主张接受是上策。 　　不过，这里至少可以提出两个问题。一是佛教、伊斯兰教里也有天堂和地狱， 帕斯卡是否同意有两种以上的信仰？二是这样的推论有滥用“中立原则”之嫌，这 个原则可以用“立方体悖论”加以说明。 ２－２　“立方体悖论” 　　经济学家约翰·凯恩斯的“中立原则”认为：如果没有充份的理由来说明某件 事的真伪，就选对等的概率来确定每件事物的真实性。但应用不当就会闹出笑话。 　　“立方体悖论”说：如果柜子里藏着一个立方体。你知道它的边长从２米到４ 米，根据“中立原则”，最好的估计是它的边长为３米。但根据体积，这个立方体 的体积从８立方米到６４立方米之间，同样根据“中立原则”，最好的估计是它的 体积为３６立方米。 　　显然，根据其体积的估计，其边长不可能是３米。这就是使用“中立原则”不 当造成的。 　　同样，按照帕斯卡的计算方法，上帝存在有二分之一的概率。如果进一步推下 去，上帝创造宇宙的概率是二分之一，上帝创造人类的概率也是二分之一。因此， 上帝既创造宇宙也创造人类的概率就是四分之一，而上帝不存在的概率就是四分之 三，不定的因素越多，上帝存在的可能性就越小。反之也是一样，上帝存在的可能 性就越大。人将如何选择？回答这个问题很简单，帕斯卡使用的“中立原则”不适 合解决这个问题。 ２－３　“手表类比” 　　这是英国哲学家佩利（Ｗｉｌｌｉａｎ　Ｐａｌｅｙ，１７４３－１８０５） 提出来的一个难题，大概与帕斯卡有同样的意愿，大意是： 　　“在野外拾到一块手表，一定知道它是手表匠造的，那么比手表更精美的自然 界，一定是神造的。” 　　这个例子有些类似著名的第一因“论证”：如果对原因的原因无限地推演下去 ，必然可以找到一个初始因，而这个因就是上帝。 　　这是一个由有限观察而归纳或类推出无限结论的悖论，只能推理而无法验证。 宗教往往认为自己可以找到被科学、理性认为是极限、无限或者是无穷以外的终极 真理。 　　如何确定超出感觉经验的理论是否正确？哲学家休谟认为：一切理论都建立在 因果关系之上，凭这种关系，人们才能从经验到事实推出另一件并未经验到的事实 。他提到这个手表类比，说：在这里，我们总是假定：在现在的事实和推论之间， 必定有一种联系，如果没有任何东西来结合它们，那么这种推论就成了完全任意的 。 　　手表与手表匠之间存在着因果，这是不言而喻的。但是自然界与上帝之间是否 也存在着因果？则是一件我们无法经验的事实。如果承认一果多因，那么手表类比 就存在着一个未经证实的问题，我们至少知道自然界的存在有两种原因可以解释， 一种来自于唯心主义的解释，另一种则来自于唯物主义的解释。 “有多个终极真理？” 　　这是一个矛盾的问题，一个悖论。所谓“终极真理”，应该只有一个，要不然 就不是“终极”。 　　但我们现实的问题是：一个地球，百种宗教。佛教追求的终极真理是“真如” 、道教是“道”、伊斯兰教是“真主”、古代中国人是“天”、印度人是“梵天” 、希腊人是“本体”。从理论上来讲，终极真理只有一个，但我们现有的答案却不 止一个，合在一起就是“二律背反”。对终极的探讨也许是人的本性，科学家也不 例外，爱因斯坦赞叹自然界精美的规律，称它为“神”。显然，此“神”非彼神， 讲的是大自然，正是信仰使不同的人追求不同的目标，逻辑体系也不一样。 　　如果把思维分为二类：一是理性思维，包括形式逻辑思维和辩证逻辑思维；二 是非理性思维，即直觉非逻辑思维。康德认为有一个不可知的“自在之物”，理性 只是反映了现象，而不能把握“自在之物”本身。理性本身存在着矛盾，因此康德 认为理性有一定的局限性，有些问题理性不能解决，这无疑给超越理性的思考开了 一扇大门。 　　例如前面谈到的“鸡－蛋难题”，从进化的角度看，这并不是一个悖论，只是 我们还没有找到答案。当人们用它来说明思维中的逻辑问题时，悖论的根源是里面 存在着潜在的矛盾前提，是理性思维中的一对无限因果的循环，没有答案，这仅仅 是形式逻辑的解答。当人们觉得并不满足，硬要“找出”一个答案来时，于是出现 了一些非理性思维的“答案”。 　　佛教的可能答案是：“鸡就是蛋，蛋就是鸡。”因为它们都是“空”的；基督 教的可能答案是：“神既创造了鸡，也创造了蛋。”因为自有永有的神是最初因。 对比这两种诉诸宗教的解答方法，就会发现它们是明显矛盾的，不同的宗教可能有 不同的答案，因为他们的思维体系完全不同，却可能都认为自己找到了终极的“答 案”。 　　归纳上面提到的两个方面，有人从逻辑上诘难上帝的存在，“上帝的悖论”似 乎是一种“反证”，但同样也有人要在逻辑上从事上帝是存在的“证明”，如“手 表类比”。但都陷入了悖论的巢臼。 　　有一种说法，认为科学解决不了的难题可以诉诸哲学，形式逻辑解决不了的， 可以采用高一级的逻辑方法，如辩证法；而哲学解决不了的难题可以诉诸宗教，那 里有最终的答案。 　　这只是表面现象，因为科学是一个没有止境的探索过程，不会冀望寻找一劳永 逸的“终极答案”。如果有一天科学把“鸡－蛋难题”解决了，无疑会出现类似于 “大爆炸”理论带来的效应，各家纷纷作出有利于自己的调整。从这个意义上来讲 ，科学的发言权往往是决定性的。 （２０００年２月７日于美国） 经典悖论漫游　 泽熙 七、佯谬大崩溃 　　科学体系必须逻辑自洽，而且可以较好地解释自然现象。但自古以来，科学本 身也没有摆脱悖论和佯谬的困扰，几乎不可避免。如果考察科学史中出现的种种悖 论，可以发现，悖论的提出和探索往往又推动了科学与思维的发展。 悖论与佯谬 　　悖论是“特殊的逻辑命题”，其特殊性的共同点在于自相矛盾。根据这个宽泛 的定义，可以有“真悖论”与“假悖论”的划分。“真悖论”的命题就是无法从逻 辑的自相矛盾中解脱出来，如前提不自洽的悖论；“假悖论”则是可以被解套的悖 论，如科学中的“佯谬”。 　　游历了众多的悖论以后，可以看到，有的悖论可能被证明是难以从中解脱出来 的，如“谎言者悖论”，其中的“自指”就是哥德尔不完全定理的中心一环。随着 研究的深入，很多过去认为是“不可能解决的”悖论，最终也找出了解脱的办法， 悖论也就变成了佯谬。例如，芝诺的四个运动悖论，一些方面在现代数学里可以得 到与我们观察相对应的解释。但由于它们是历史形成的，即使被科学解套，依然可 以称为悖论。 　　如果说悖论是似是而非，那么佯谬则是似非而是，人们通常把它们归为同一类 来探讨，在英文里，佯谬和悖论就是同一词“ｐａｒａｄｏｘ”。伽利略对自由落 体的探索，可以说是佯谬大崩溃的一个经典例子。 １－１　著名的“落体佯谬” 　　２０００多年前，亚里斯多德认为：“物体自由下落的速度和物体的重量成正 比”。因此，“物体越重，下落的速度就越快；越轻，物体下落的速度越慢。” 　　这一观察似乎接近日常生活的事实：除非在真空里，羽毛较石头落下的速度缓 慢。因此，亚里士多德的理论看起来正好与人们的经验相符，所以两千年人们深信 不疑。 　　但是，如果把它们绑在一起，下落得更快还是更慢？一方面，重量更大，应该 落得更快；另一方面，快的物体也可能被慢的物体拖住，没有单独下落快。显然， 这两个推论是相互矛盾的。 　　１６世纪，伽利略对亚氏学说提出了挑战。他登上了比萨斜塔，成功地证明了 一对同样大小的木球和铅球同时下落、同时落地，使这个千年佯悖彻底崩溃，说明 了下落物体的速度与它的质量没有关系。成为惯性定律、自由落体运动定律和广义 相对论的一个实验基础。 １－２　伦琴的发现 　　《华盛顿邮报》上曾经介绍过一个佯谬的例子。德国物理学家伦琴（１８４５ －１９２３）曾经发现了一个似乎矛盾的现象：一些照像纸放在防光袋子里，上面 却发生了萤光反应，这与“常识”不合。研究之后，他发现了一个看不见的、未知 的原因：Ｘ光（Ｘ表示未知的意思）。 　　尽管这不是一个经典的悖论，矛盾仅仅发生在观察与现有理论的不合，但说明 了一种在科学上对付悖论的办法，因为很多科学悖论也往往揭示了一些未知的“Ｘ 因素”，需要人们去发现，从逻辑的困扰中解脱出来，拓展一种全新的概念。 １－３　“蝴蝶效应” 　　如果说北京有一只蝴蝶振翅一挥，就会引起纽约的一场风暴，你相信吗？两者 似乎“风马牛不相及”，但理论上它是可能的。 　　１９７９年１２月，美国气象学家洛伦兹（Ｌｏｒｅｎｚ）在华盛顿的美国科 学促进会上一语惊人：“一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能在美国的德克萨斯引起 一场龙卷风。”“蝴蝶效应”一说不胫而走。洛伦兹正是受了一只振翅“蝴蝶”的 启发，其图形是用方程组在计算机里模拟气流的运动得来的，开创了一门新的学科 ：混沌学（Ｃｈａｏｓ）。有人称它为：“本世纪继相对论和量子力学后的第三大 科学发现。” 　　尽管与现实的经验不符，但它的科学与哲学魅力在于：长期行为对初始条件有 敏感的依赖性。初始条件带来微小变化的不断放大，对未来将造成巨大影响。正如 中国古书所载“失之毫厘，谬以千里”。蝴蝶效应会受到许多其它因素的干扰，“ 蝴蝶振翅”与“风暴来临”绝不是简单的直接因果，而可能是复杂的连续因果。 三次数学危机 　　美国科学史家乔治·萨顿在《科学史研究》一书里曾经有一段精彩的总结：芝 诺的阿基里斯与龟的悖论产生了无穷级数收敛的想法，不相容性最终产生了哥德尔 定理，迈克尔逊－莫雷光速实验似是而非的结果使相对论得以诞生，光的波粒二象 性的发现促使人们重新考虑确定论的因果性，这正是科学哲学的基础，最后又导致 了量子力学的诞生。麦克斯韦的悖论由齐拉特在１９２９年首先找到了解决方案， 最近它又更深入地启迪人们去思考信息和熵，而这是表面上毫无关系而本质上紧密 相连的两个概念。可见，悖论研究对科学的贡献之巨大。 　　我们知道，在数学史上出现过三次大的危机，人们一般称它们都由悖论引起， 而前两次不过是佯谬，而最后一个“罗素悖论”也许才是真正的悖论。 ２－１　“毕达哥拉斯悖论” 　　早在２５００年前，古希腊的毕达哥拉斯（公元前５７２－前４９７）学派虽 然认识到了事物背后有数的法则，但由于他们对数的崇拜和迷信，认为万物中的数 只有整数和整数之比，如勾股定理，只有整数才可以描述宇宙间的和谐关系。但是 ，当一个叫希帕索斯的学生发现：边长为１的正方形，其对角线不可能用整数来表 达，这就触犯了这个学派的信条，出现了“毕达哥拉斯悖论”。而天真的希帕索斯 向外人透露了他的发现，结果被扔到了海里而丧身。但是他的发现却引起了数学思 想的大革命，史称“第一次数学危机”。 　　从此希腊人开始重视演译推理，建立几何公理体系，随着无理数的引进，这个 悖论也就消除。可见，有些“悖论”并不是真正的悖论，而是佯谬，只是在这类悖 论之后，隐含着人们尚未认识的错误或不愿意正视现实罢了。 ２－２　“贝克莱悖论” 　　第二次数学危机是由“贝克莱悖论”引起的，涉及到微积分的基础无穷小量是 否为零的问题。牛顿在流数（导数）计算中发现，瞬时速度趋近于零时的值遇到了 无法克服的矛盾，英国大主教贝克莱在１７３４年出版了一本《分析学家》，攻击 在牛顿的计算式中，无穷小最初不是零才能充当除数，但计算的结果又将它作为零 而舍弃，违反了矛盾律，即无穷小不能既可等于零，又可不等于零。 　　简单地讲，这个悖论就是“无穷小如果是零就不能充当除数，如果不是零，就 不能舍弃”。莱布尼兹在研究级教时，无穷小、无穷大的概念感到困惑，数学危机 爆发。直到法国数学家柯西１８２１年的《代数分析教程》发表，给出了极限的定 义以后，危机才逐渐消除。可见，这也是一个佯谬。 ２－３　理发师悖论 　　随着康托一般集合论的成为数学的基础，法国数学家彭加勒在１９００年宣布 ：数学的严格性“可以说完全实现了”。然而一片乌云随即飘来，罗素的“集合论 悖论”重新搅起波澜。他形像地用一个故事表达了出来，这就是下面的“理发师悖 论”。 　　西班牙有个小镇叫的塞维利亚，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些 不给自己刮胡子的人刮胡子。”有人问他：“你给不给自己刮胡子？”理发师顿时 无言以对。尽管罗素提出了这个悖论，但他本人似乎也没有解决好这个难题。 　　由于镇上只有一个理发师，这就出现了一个矛盾推理：如果理发师不给自己刮 胡子，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己刮胡子。 　　反之，如果这个理发师给自己刮胡子，根据招牌所言，他只给村中不给自己刮 胡子的人刮胡子，他不能给自己刮胡子。 　　因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这是集合论悖论的 通俗的、有故事情节的表述。显然，这里存在着一个不可排除的“自指”问题。 　　如果有一个“所有不属于自己集合的元素的集合”，那么这个集合是否属于自 己集合的一个元素？不论怎么回答都是矛盾。因为小镇上的人可以分成两类：一类 给自己刮胡子，另一类不给自己刮胡子，但理发师无法归入任何一类，无法“二者 必居其一”。集合论是近代数学的基础之一，而罗素悖论则动摇了这个基础。 ２－４　集合论悖论 　　如果将罗素悖论用集合的方式表达：“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。” 　　人们会问：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”如果不包含，由Ｒ的定义，Ｒ应属于Ｒ 。如果Ｒ包含自身的话，Ｒ又不属于Ｒ。 　　数学是一门严格的理论体系，自身应该是没有矛盾的。集合论悖论击中了数学 基础的要害，动摇了人们对数学确定性的信念，第三次危机爆发。争论的结果导致 了捷克数学家歌德尔（Ｋｕｒｔ　Ｇｏｄｅｌ）向形式逻辑体系的缺陷进行了挑战 ，１９３１年一个“不完全定理”打破了很多人的宏伟蓝图，十九世纪末的数学家 们要将“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想成为泡影。 　　这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也 不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种 非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。 　　罗素悖论震撼了整个数学界，而同时期出现的数学悖论还有布拉里·福蒂悖论 、康托尔最大基数悖论、理查德（Ｊ．Ｒｉｃｈａｒｄ）悖论、培里（Ｐｅｒｒｙ ）悖论和格瑞林（Ｋｕｒｔ　Ｇｒｅｌｌｉｎｇ）悖论等。直到哥德尔的不完全定 理，这些悖论的出现和解决方法的提出也都极大地推动了数理逻辑的发展。 爱因斯坦的佯谬 　　悖论首先是由哲学的思考而最终进入科学的思考。英国科学作家约翰·巴罗在 《不论──科学的极限与极限的科学》中说道：在哲学中，悖论促使人们对无限、 语言、真理及逻辑等问题作了本质上的新的深入思考。在物理世界中，可测量的或 者在信息可传递得多快等问题上，同样也存在着无可争议的极限，似乎也会不可避 免地导致知道自身局限性的理论。 　　据说悖论帮助爱因斯坦，爱因斯坦的狭义相对论就受到过悖论的启发，提出了 一个“光速悖论”。爱因斯坦的成就之一，就是引进了一个定律Ｅ＝ｍ×ｃ的平方 。其中，ｃ表示恒定的真空光速，被纳入自然常数之列，作为不可达到的最高临界 速度。而光速恒定则引出了相对论的两个著名“佯谬”，它们曾经被人嘲讽为相对 论的“荒诞无稽”的结论。 ３－１　孪生子佯谬　（Ｔｗｉｎ　Ｐａｒａｄｏｘ） 　　根据相对论，在高速状态下，时间就会相对应地减慢，当速度达到光速的９９ ．６％时，时间就相对地减慢一半。“孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的 钟，比静止参考系中的钟走得慢。根据这一结论，可以推测：一个乘飞船按接近光 速的速度在太空旅行的人，当他返回地球的时候，就会比生活在地球上的孪生兄弟 年轻。 　　假若有一对孪生兄弟，Ａ３５岁，Ｂ３５岁。如果Ａ乘驾太空船，以光速的９ ９．６％熬游太空３０年，当他返回地球时可能出现： 　　Ａ：３５岁＋３０年＝６５岁 　　Ｂ：３５岁＋６０年＝９５岁 　　在１９０５年，爱因斯坦的狭义相对论确立以前，牛顿的机械自然观统驭着人 们的空间想象，因此无法解释这一现象。而“时间相对化”的确立，取缔了牛顿“ 绝对时间”的概念，使“绝对运动”概念也失去了立足之地。 　　对于时间的不同变化节奏，在古代中国的传说中也有。多少与道教有点关系， 例如，儿童五言诗：“王子去求仙，丹成十九天。洞中方七日，世上已千年！”在 《醒世恒言》卷三十八里也有：李道人独步云门：“一路想道：山中方七日，世上 已千年。果然有这等异事！”这多半是古人的幻想。 ３－２　“会变的尺” 　　这是相对论引出的另一个“佯谬”：一把快速运动着的尺子，它和静止状态相 比，在运动方向上长度缩短。 　　这个问题是从迈刻尔逊实验结果提出来的，后来形成了洛仑兹的机械收缩假说 。爱因斯坦认为，这种收缩可以用两个参考系之间存在着的相对速度来解释（见聂 运伟编着的《相对论的摇篮：爱因斯坦传》）。 “上帝是否掷骰子？” 　　爱因斯坦曾经说过：量子力学是不完备的，一定有一个更好理论使物理学家对 实验结果作出确定的预期。他说：“在宇宙中，上帝是不掷骰子的。” ４－１　“理想测量”的悖论 　　在宏观世界里，一块石头自由落体准确可测，它按牛顿万有引力或重力定律发 生作用。但是在量子物理学里，落下的不是石头，而是质量很小的电子，在微观世 界里就会出现“测不准”的现象。 　　在量子力学里，许多基本粒子一直处于某种不确定的可变化状态，打个比方， 当你看到一块“石头”时，它是一块“石头”，这只是概率的一种；当你下次看到 它时，它可能又是别的什么。德国物理学家海森伯（Ｗｅｒｎｅｒ　Ｈｅｉｓｅｎ ｂｅｒｇ，１９０１－１９７６）１９３２年因提出测不准原理而获得诺贝尔物理 学奖。 　　如果说相对论给了机械论物理学一个沉重的打击，那么量子力学的提出则标志 着非机械论物理学的诞生。量子力学认为在测量之前没有什么是实在的，也无法预 期。爱因斯坦则质疑：“难道月亮只有在你看它的时候才存在？！”也许这涉及到 一个量子力学的适用范围问题。 ４－２　薛定谔的猫（Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ’ｓ　Ｃａｔ）悖论 　　在日常观察中，一只猫非死即活，必居其一。而薛定谔的“猫”放在箱子却处 于非死非活的叠加状态。这是薛定谔提出来的一个具有挑战性的难题。因为，按照 量子力学的规则，箱子内的整个系统都处于两种态的叠加状态，这就是叠加原理（ Ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ　Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ）。 　　“薛定谔猫”的实质是：宏观上是否存在量子般的叠加状态？“猫”从生与死 的叠加状态过度到或生或死状态的区分点在哪里？这些难题有待物理学家的进一步 探讨。 ４－３　ＥＰＲ佯谬 　　量子力学的另一个难题是“ＥＰＲ佯谬”。它是１９３５年，由爱因斯坦（Ｅ ｉｎｓｔｅｉｎ）、波多尔斯基（Ｐｏｄｏｌｓｋｙ）和罗森（Ｒｏｓｅｎ）在一 篇《能认为量子力学对物理世界的描述是完备的吗？》的论文中提出来的。假设沿 不同方向发射两个粒子，那么无论它们相隔多远，一旦测出其中一个，另外一个粒 子的状态也就立刻确定下来了。但是按照相对论，这是不可能的，这个佯谬预示： 量子关联现象表面上与相对论的因果关系是相矛盾的。 　　尽管量子力学已经广泛为人们所接受，但爱因斯坦关于其完备性的质疑对量子 力学后来的发展产生了巨大影响，深化了量子力学对基本问题的探讨。 科学迸发新难题 　　“没有悖论，就没有进步。”这是一条古老的科学原理。科学不仅在解决难题 的过程中取得加速，也可能迸发出一些新的难题，有的现在还没有答案，但可以为 将来的研究提供一条线索。美国物理学家惠勒曾经解释道：“没有悖论，我们就不 能得到任何真正新的东西；而有了悖论，我们就有了一点希望。为了取得进步，需 要有两种因素既相对抗又相平衡。”譬如： ５－１　“克隆羊悖论” 　　克隆羊多莉诞生以后，人们提出这样一个有趣的科学和哲学问题，因为它的“ 生物年龄”可能和它的“出生年龄”不符： 　　多莉的ＤＮＡ取自一个六岁的老羊，多莉的出生年龄已有三岁，按ＤＮＡ推测 ，它的生物年龄应该是九岁。换句话讲，它克隆了基因，是否也克隆了年龄？ 　　有人推测：“多莉是穿着羔羊服装的老羊”，而衰老比正常羊的速度快。人们 不禁要问，从一个五十岁的人那里克隆出来的克隆人可以活多久？这个问题或许有 待克隆技术的完善才能有答案。 ５－２　“中医悖论” 　　２０世纪初以前，很少有人怀疑中医的合理性。现代化让人看到它是一个百年 困惑的“悖论体”，因为科学实证的方法鉴别出中医体系将科学与非科学性的成份 交织在了一起，因果关系复杂，割舍不开，深入研究下去就会发现这是一个“二律 背反”（张其成《中医学的构建与发展──中医现代化悖论》）。不知有多少人在 这个“二律背反的学术怪圈”里熬了几十年，似乎还没有找到头绪。 　　不过，“解铃还需系铃人”，现代科学揭示了中医的悖论，也将破解这个悖论 。在科学史上，悖论与佯谬给科学带来的突破并不鲜见，而且依然带来我们新的启 发。想必中医现代化之时也就是悖论解套之时。 ５－３　“奥伯斯悖论” 　　这是一个有名的天体悖论，早在１６１０年开普勒就注意到，直到１８２３年 德国天文学家奥伯斯（Ｏｌｂｅｒｓ，Ｈｅｉｎｒｉｃｈ　Ｗｉｌｌｈｅｌｍ）重 新提出以后才广泛引起关注。问题的核心是： 　　“夜空为什么是暗的？” 　　如果空间无限延展，而且星体均匀分布，我们的任何视线都应该碰到起码一颗 星球。那么，天空不是应该一直都是明亮的吗？这个结论显然于事实不符。 　　过去人们推出了很多的猜测，如果宇宙只有有限的星体、星体的分布不是均匀 的、星体越远可视光越少，遥远的光还没有到达地球等等。“大爆炸”理论出现以 后，人们知道宇宙的年龄不是无限的。从“大爆炸”开始算起，宇宙距今有一百到 两百亿年的历史，也许是年轻的宇宙还没有时间将光充满夜空（英国《星期日电讯 》１９９７年１０月５日）。 （１９９９年１２月２７日于美国，２０００年４月２４日修改） 经典悖论漫游　 泽熙 八、故事中的经典 　　有的悖论，是现代人的设计，或编织在小说里，或成为流传的故事，成为智力 游戏的经典。问题的答案常常在于模棱两可的选择，甚至无法通过正常的推理找到 答案。 生存的智慧 　　古希腊有一个故事：在一场战争中，罗马人抓了一名希腊俘虏。罗马将军决定 当众处死，广场上树有两座神像：一个代表“真理神”，另一个代表“谬误神”。 　　这位将军对希腊人说：“允许你说一句话，如果是真话，在‘真理神’面前死 ；如果是假话，就在‘谬误神’面前死。”让这个希腊人自己决定怎么个死法。 　　“我在‘谬误神’面前死。”希腊人沉思片刻后回答道。 　　罗马士兵把这个希腊人带到“谬误神”面前，准备问斩。 　　但希腊人反问道：“如果我真的在‘谬误神’面前死了，我说的那句话不就对 了吗？。” 　　罗马将军觉得有道理，就把希腊人带到“真理神”面前，再次准备问斩。 　　希腊人又反问道：“如果我真的在‘真理神’面前死了，前面那句话不就错了 吗？。” 　　这位将军觉得也有道理，于是处于两难，只好把希腊人放了。 　　这个故事被希腊人用来说明智慧的伟大。其中，“我在‘谬误神’面前死”配 上前提，是一个“对就是错，错就是对”的悖论。分析一下可以知道，这个故事将 前提中的矛盾暴露无遗： 　　如果在“谬误神”面前死＋“我在‘谬误神’面前死。”→回答正确，应该在 “真理神”面前死； 　　如果在“真理神”面前死＋“我在‘谬误神’面前死。”→回答错误，应该在 “谬误神”面前死。 　　无论这位罗马将军做出怎样的选择，都被自己规定的前提给否定掉了，从逻辑 上，“不死”可以彻底解脱海盗的规则，希腊人得救了。 　　“爱智”是古希腊人的一种时尚，人们也许相信智慧可以拯救一切。以后，这 个悖论又被改头换面成为其他故事里的经典。比方说： １－１　“唐吉诃德悖论” 　　在小说《唐吉诃德传》的第５１章里，提到一个小岛，法律规定询问每一名游 客：“你为什么到这里来？”如果游客说谎，就会被吊死。 　　一位游客回答：“我来这里是为了被吊死。” 　　推理一下：如果他真的被吊死，那么他就没有说谎。由于这个小岛的国王曾信 誓旦旦地要维持这条法律，所以这位游客得到了自由。聪明的游客找到的答案使强 盗的前提互不相容。 　　不过反过来看，游客没有被吊死，说明他的话是错的。，又回到前面的推理， 这是一个悖论。可怜的岛主同样没有维持这条法律。可见岛上的法律之荒谬。 1－２　“鳄鱼悖论” 　　这个悖论与上面的例子逻辑同构，有人说是希腊哲学家讲述的故事，流传很广 。 　　一条鳄鱼抢走了一个小孩，它对孩子的母亲说：“我会不会吃掉你的小孩？答 对了，孩子还给你；答错了，我就吃了他。”我们已经知道了母亲的答案：“你会 吃掉我的孩子。” 　　鳄鱼该怎么办？如果把孩子还回去，那么母亲就说错了，所以可以吃掉孩子。 但是如果吃掉孩子，那么母亲又说对了，应该把孩子还回去。虽然两方面都有漏洞 ，但鳄鱼则被搞得不知所措，母亲机敏地带走了孩子。这个悖论还有几个版本，如 夥强盗抓住了一个商人，也许读者自己都可以编造几个出来。 １－３　预料之外的绞刑时间 　　这个悖论在英语里叫“Ｐａｒａｄｏｘ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｕｎｅｘｐｅｃｔｅ ｄ　Ｈａｎｇｉｎｇ”，最早是口头流传，大约２０世纪４０年代才开始。 　　一个囚犯在星期六被判刑。法官宣布：“绞刑时间将在下一周七天中的某一天 中午进行，但是具体哪一天将在当天上午再通知你，你不可能预先知道。” 　　囚犯分析到：“我将不可能在下个星期六赴刑，这是最后一天。因为星期五下 午我还活着，那么我知道星期六中午我一定被处死。但是，但是这和法官的判决有 矛盾。”根据同样的推理，他认为下一个星期五、星期四、星期三、星期二、星期 一、星期日都不可能上绞架。因此，法官的判决将无法执行。 　　这种连锁悖论式的推理似乎有道理，但并不成立。法官的判决可以在下个星期 六以外的任何一天被执行不自食其言，囚犯根本无法做出合理的预期。还有一个： 　　它的另一个版本是“预料之外的考试时间悖论”（Ｐａｒａｄｏｘ　ｏｆ　ｔ ｈｅ　Ｕｎｅｘｐｅｃｔｅｄ　Ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ），发生在老师与学生之 间，但悖论的结构完全一致。 １－４　“国王难题” 　　尽管逻辑同构，但故事还可以编造得更加精彩。这又是另一个翻版： 　　某公主要嫁给一平民，国王反对，便出了一道难题。他把五扇门编号为１、２ 、３、４、５，并在其中的一扇门后面放有一只老虎，要求这个平民按顺序打开从 第１到第５号门。国王对平民说道：“如果你能预期到老虎在哪个门里，你就算赢 了。但是，如果老虎的出现在你的意料之外，你就会被吃掉，那你就输了。”国王 给出的唯一提示就是：老虎的出现绝对出乎意料。 　　于是这个平民推论：如果他依次打开前门的１、２、３、４号门，老虎还没有 出现的话，那么老虎一定在第５号门里。如果是这样的话，也就没有什么“绝对出 乎意料”的事了。因此，老虎不可能在第５号门里。以下的推论可以作两种不同的 推理： 　　一是按连锁悖论式的方式推理下去，既然已经排除了第５号门，那么也就可以 同样排除第４号门。因为当他依次打开前面的１、２、３号门时，老虎还没有出现 ，那么老虎一定在第４号门里。这也有什么“绝对出乎意料”的。如此推论下去， 那么老虎就根本不可能在任何一扇门的后面。 　　事实上，老虎就在第二号门里，而这个平民无论如何也推不出来。平民觉得自 己的推理没有错，而国王也认为自己没有其言。问题在哪里？ 　　如果这个平民站在国王的角度来看的话，就会发现：除了第５号门以外，国王 可以把老虎放在第１、２、３、４号的任何一个门的后面，并且不会自食其言。那 么这个平民就应该知道，他获胜的概率只有四分之一，而进一步逐个排出４、３、 ２、１的方法是不能成立的。 生活的乐趣 　　悖论也可以作为生活的调料。从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以推论出任 何荒谬的结论，哪怕推理过然b无懈可击，那么它的结论就难以自圆其说，甚至荒谬 或没有结论。这里有很多的例子，不仅引人惊讶，也引人思考。 ２－１　“罗素是教皇？” 　　这是有关罗素的一段逸事。有人曾经让他证明从“２＋２＝５”推出“罗素是 教皇”。罗素证明如下： 　　由于２＋２＝５，等式的两边同时减去２， 　　得出２＝３；两边同时再减去１， 　　得出１＝２；两边移位， 　　得出２＝１。 　　教皇与罗素是两个人，既然２＝１，教皇和罗素就是１个人，所以“罗素就是 教皇”。这个荒谬的结论，是由一个荒谬的假设引发出来的。 ２－２　梵学者的“预言” 　　这是一个梵学者（印度的预言家）的女儿用悖论来为难她的父亲的故事。 　　女儿在纸上写了一行字压在水晶球的下面。然后对父亲说：纸上写的可能发生 ，也可能不发生。如果你预言会发生就写“是”，反之就写“不”。 　　梵学者写下他的预言“是”，女儿拿出水晶球下面的纸，念到：“你将写一个 ‘不’字”。学者错了。实际上，他写个“不”字，也会错，因为预言已经发生了 。 　　女儿的“不”有两重含义，它一方面与字面上的“是”相反，另一方面与实际 上的“不”相反，双重标准。由于没有事先界定，梵学者也可以反过来和他的女儿 作无限的争论。当然，如果是打赌的话，这位梵学者也许乐意“输”给他女儿，送 她一份礼物。 ２－３　蝙蝠悖论 　　中国古代有一则趣谈，百鸟同去给凤凰祝寿，凤凰责其无礼。蝙蝠却回答：“ 我有脚，是走兽，不是鸟，为何要给你庆寿呢？”不久，麒麟做生日，百兽都去拜 寿，而蝙蝠又不去，麒麟斥其傲慢。蝙蝠又说：“我有翅膀，是飞禽，非走兽，为 什么要给你祝寿？”这是典型的双重标准。以后凤凰、麒麟相会，谈到蝙蝠，也对 蝙蝠这种不禽不兽或既禽又兽的诡辩无可奈何。 ２－４　怎么翻译？ 　　英语里有一个“Ｂｕｃｈｏｗｓｋｉ”悖论：“Ｍｙ　ｙｏｕｎｇｅｒ　ｂｒ ｏｔｈｅｒ　ｉｓ　ｏｌｄｅｒ　ｔｈａｎ　Ｉ　ａｍ.” 　　单纯看这句话是一个悖论，实际上这个“我”有两个哥哥。小哥哥（ｙｏｕｎ ｇｅｒ　ｂｒｏｔｈｅｒ）自然比他的年龄大。但是ｙｏｕｎｇｅｒ　ｂｒｏｔｈ ｅｒ在英语里又有“弟弟”的意思，硬译过来，如果是：“我弟弟的年龄比我大。 ”为常识错误；如果是：“我的小哥哥的年龄比我大。”构不成悖论。 　　英语的ｂｒｏｔｈｅｒ与汉语里的“兄弟”并不完全对应。在这个例子里，汉 语对“兄弟”作了进一步的划分，减少了歧意。 ２－５　“一元钱到哪里去了？” 　　这不过是一个圈套的游戏：三个学生住旅馆，服务员收费３０元。因此一个学 生拿出了１０元。但是后来经理说今天特价，一共只收２５元。服务生退还了学生 ３元并拿了２元的小费。结果每个学生只出了９元，一共２７元，加上服务员的２ 元，才２９元（３×９＋２＝２９），那剩下的１元到哪里去了？ 　　也有人把故事改编成这种形式：约翰推销他的旧电视３０元给三位妇女，结果 每个妇女拿出１０元来。约翰发现他的电视只值２５元，于是他拿出２元钱作运输 费，将其他３元钱退还给那三位妇女一人１元。结果仍然是３×９＋２＝２９，有 １元钱不知去向。 　　这个问题很容易蒙住粗心的人，但仔细一点就可看出名堂来。每个学生实际出 了９元，一共２７元，其中２５元是住宿费，剩下２元被服务员拿走，应该做减法 ３×９－２＝２５。如果要做加法，则应该加上退还的３元，３×９＋３＝３０， 不正是起初服务员收的３０元吗？因此根本不存在“一元钱到哪里去了”的问题。 　　这是一个悖论吗？有人说不是，不过是在陈述上故意作了误导。但美国的《科 学美国人》编辑部曾经出版了一本书叫《从惊讶到思考：数学悖论奇景》，就收了 这个例子。 决策中的“现代悖论” 　　在今天的运筹决策领域，西方人常常以“悖论”的形式加以探索，因为同样一 个选择，由于变量不同而会导致结果的差异。但看上去已经现代气十足，不可与传 统的经典悖论同日而语。 ３－１　纽卡（Ｎｅｗｃｏｍｂｓ）悖论 　　这也是决策理论中的一个，由物理学家纽康首创：有两个盒子Ａ和Ｂ放在桌子 上： 　　Ａ是透明的，可以看见里面有＄１,０００， 　　Ｂ是不透明的，上面写着或者是＄１,０００,０００，或者是０。 　　你可以在下面的两种选择中，只能取一个（１）或（２）： 　　（１）只选择Ｂ 　　（２）Ａ和Ｂ两个都选 　　你会作怎样的选择？ 　　有一个教授曾经作过一个实验：他让１０００个学生选，其中９９９个学生选 择了（２），只有１个学生选择了（１）。而这９９９个学生一人只获得＄１,００ ０，而那１个学生却获得了＄１,０００,０００。为什么呢？因为这个教授事先已 经作了预测，并作出这样的安排： 　　如果选（２）Ｂ盒子里就不放任何一分钱， 　　如果选（１）Ｂ盒子里就放＄１,０００,０００。 　　而这个教授的预测只有千分之一的失误。如果你已经知道了这个结果，重新再 选，会选哪一项？注意，这一回，教授可能又作出了新的预测。 ３－２　阿雷斯（Ａｌｌａｉｓ）悖论 　　如果下面两个式了代表你将获得的收入，Ｘ是一个不定的量，你将选择哪一个 ，Ｓ１还是Ｓ２？ 　　（１）Ｓ１＝０.９Ｘ＋＄１００,０００ 　　（２）Ｓ２＝０.８９Ｘ＋＄２５０,０００ 　　显然，最好的选择取决于Ｘ是多少。 　　当Ｘ＝＄１５,０００,０００，Ｓ１＝Ｓ２＝＄１３,６００,０００ 　　当Ｘ〉＄１５,０００,０００，Ｓ１〉Ｓ２ 　　当Ｘ〈＄１５,０００,０００，Ｓ１〈Ｓ２ 　　这个悖论对决策理论有较大影响。 ３－３　囚犯诡论 　　这是运筹学中的对弈，人们针对某种情景设计出来的一种相互猜测。例如甲乙 两人偷东西，人赃俱获。他们被分开审问，可能的惩罚如下： 　　　　甲否认－乙否认：甲、乙各一年监禁 　　　　甲否认－乙承认：乙释放、甲五年监禁 　　　　甲承认－乙否认：甲释放、乙五年监禁 　　　　甲承貌7b－乙承认：甲、乙各三年监禁 　　甲乙二囚犯都希望做出对自已最有利的选择：以甲而言，甲若承认，最多三年 监禁；如果乙否认，甲马上获得自由。这个结果并不坏。这是博弈，乙也会同样这 么想。如果甲改变主意，将冒监禁五年，而乙却获得自由；反之也一样。如果双方 都改变主意，各监禁一年，也可以达到“共利”。 　　但是，这一决策的过程可能是无限的理性推理：假如我选择“共利”策略，我 必定相信对方也将选择“共利”策略；假如我选择“私利”策略，对方也会选择“ 私利”策略予以防范。这个“推己及人，推人及己”的过程可以无限地推下去，他 的极限状态在博弈论里叫做“共享知识（Ｃｏｍｍｏｎ　Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ）” ，但是没有人可以达到这个状态，囚犯也摆脱不了这个悖论。 真正的悖论具有永久魅力 　　在逻辑世界以为，悖论何其多？记得《红楼梦》里有一句：“假作真来真亦假 ”，这是一个十分类似悖论的佳句，然而曹老先生也许讲的是当时的“社会想象悖 论”。 　　社会现象悖论，严格地讲，已经超出了形式逻辑的范围。解释和解决的办法也 不尽相同。但是作为一种思维现象来欣赏，也无有不可。如：美国亚当斯的《迪尔 伯特原则》就曾介绍过一个“成熟管理的悖论”：一些生龙活虎的年轻公司，一旦 引入正式的管理机制，就象吃了“悖论枣”，突然失去活力。每个人似乎都在讲求 效率，而整体效率却低下。 　　老子的悖论就是信守无为而达到有为，麦哲伦的悖论则是向西航行却无意到达 了东方；模仿者的悖论却是有其形而无其神，喝彩者的悖论既渴望自己的球员赢又 希望格斗精彩。有人说，网络世界的悖论，就整体而言，也隐含着一个公众知情权 和个人隐私权的吊诡。 　　如果从更广泛的角度来看，还有经济学中的悖论、管理中的悖论、文化悖论、 历史悖论、音乐和绘画中的悖论等等。譬如给我印象最深的是埃舍尔绘画中的“怪 圈”，表达出了用文字表达不出来的“视觉悖论”。 　　例如在《瀑布》里，沿着埃舍尔的“流水”，水居然可以“从下往上流的”， 与生活中的常识相悖；在《相对性》里，沿着埃舍尔的“台阶”，无论你爬了多少 级，绕了一圈都会回到原来的位置。就像是在拓扑学中的缪毕乌丝带上运行，在有 限中体现了无限的过程。 　　在《上升和下降》里，走进埃舍尔的“殿堂”，无论你如何分辨，都会觉得天 衣无缝，但又与现实空间不可调和；在《画廊》里，你已经站到了画中的某一个位 置；其《逆行卡农》和巴赫《音乐的奉献》中的片断有异曲同工之效。 　　据说，这位荷兰的艺术大师作画常常取源于悖论，《科学美国人》的撰稿人霍 夫斯塔特在其《ＧＥＢ：一条永恒的金带》一书中揭示，有一条贯穿哥德尔理论、 埃舍尔的名画和巴赫音乐的“金带”，这就是思维中的“自指”，他称之为“怪圈 ”。 （１９９９年１１月２２日于美国） ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 　　本期　责任编辑：夏泽军　　　　　　　　　　　　主　编：墨　雨 　　　　　校　　对：墨　雨　　　　　　　　　　　　副主编：陆建平 　　　　　ＰＳ制作：丁凯文　　　　　　　　　　　　　　　　丽　莉 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